วงรี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
วงรีซึ่งมาจากการตัดของทรงกรวยกับระนาบ
นิยามสองแบบของวงรีซึ่งเทียบเท่ากัน: ใช้โฟกัสสองจุด(เขียว) และใช้โฟกัสกับไดเรกทริกซ์(น้ำเงิน)

วงรี (อังกฤษ: ellipse) เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด(ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส)ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด(เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น

วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก

นิยาม[แก้]

วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส กับ และระยะทาง จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง กับ เป็น หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า (กรณีที่ จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ )

จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่าแกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่าระยะโฟกัส อัตราส่วน คือความเยื้องศูนย์กลาง

สมบัติ[แก้]

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ แกนเอกขนานแกน x ยาว แกนโทขนานแกน y ยาว เขียนสมการได้เป็น:

ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร

หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น

หากแทน จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ

ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ

แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ

วงรีมีพื้นที่ เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี ที่ถูกยืดออก เท่า จึงได้พื้นที่เป็น หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี เป็น อินทิเกรตจาก ถึง จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น

ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล

เมื่อ เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind)

สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น

รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า