ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) เป็นเส้นโค้งรูปแบบหนึ่งที่ถูกนิยามในปริภูมิแบบยุคลิด สองมิติ ℝ² เป็นคำทั่วไปสำหรับเรียกเส้นโค้งที่มีระยะห่าง จากจุดสองจุด F และ F' ซึ่งเรียกว่า จุดโฟกัส เป็นค่าคงที่ โดยเส้นตรงที่ลากผ่านทั้งจุดโฟกัสทั้งสองนี้ และเส้นตรงตั้งฉากที่ลากแบ่งครึ่งกลางจุดโฟกัสทั้งสองนี้ จะเรียกว่า แกนหลัก (major axis)

สมการไฮเพอร์โบลา

ส่วนประกอบทั่วไปในไฮเพอร์โบลา

สมการทั่วไป	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
เส้นกำกับ	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$
จุดโฟกัส	$(\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$	$(0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$
จุดยอด	$(\pm {a},0)$	$(0,\pm {b})$
เส้นบังคับ	$x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	$y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
ความเยื้องศูนย์กลาง	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}$

ไฮเพอร์โบลาสามารถแสดงด้วยสมการต่อไปนี้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีแกนพิกัดเป็นแกนหลัก

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

ในกรณีนี้ พิกัดของจุดโฟกัสอยู่ที่

$F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$ และ $F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$

และผลต่างของระยะทาง |PF - PF'| จากจุดโฟกัสสองจุด F, F' ไปยังจุด P บนไฮเพอร์โบลาคือ 2a จุดกำเนิดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา และจุดสองจุด (±a, 0) เรียกว่าจุดยอดของไฮเพอร์โบลา

ระยะห่าง PF ระหว่างจุด P บนไฮเพอร์โบลากับจุดโฟกัส F และระยะห่างจากจุด P ไปยังเส้นบังคับ (directrix) $x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ นั้นเป็นอัตราส่วนคงตัว โดยค่าของอัตราส่วนเทียบเท่ากับ ความเยื้องศูนย์กลาง $e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$

นอกจากนี้ ไฮเพอร์โบลาประกอบด้วย เส้นกำกับ (asymptote) สองเส้น โดยสมการเส้นกำกับคือ

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0$ และ ${\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0$

ในกรณีเฉพาะเมื่อเส้นกำกับทั้งสองตั้งฉากกัน นั่นคือ a = b ไฮเพอร์โบลาจะเรียกเฉพาะเจาะจงว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (rectangular hyperbola)

กราฟของสมการแปรผกผัน xy = C ก็ถือเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉากชนิดหนึ่ง

ไฮเพอร์โบลาสามารถทำเป็นสมการอิงตัวแปรเสริมโดยใช้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

${\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}$

ไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย

ภาคตัดกรวย 4 ประเภท (พาราโบลา, วงรี, วงกลม, ไฮเพอร์โบลา)

ไฮเพอร์โบลาคือขอบเขตของระนาบตัดของกรวยด้านขวาที่ตัดโดยระนาบที่ไม่ผ่านปลายยอดของกรวยด้านขวา แต่ตัดทั้งกรวยบนและล่างขวา

ให้ C_e เป็นภาคตัดกรวย ที่มี ความเยื้องศูนย์กลางเป็น e ในที่นี้ ถ้า e > 1 แล้ว C_e จะกลายเป็นไฮเพอร์โบลา สมมติว่าเส้นบังคับคือ x = -f และหนึ่งในจุดโฟกัสคือ F(f ,0) สำหรับจุด P(x, y) ใด ๆ ของไฮเพอร์โบลา จะได้ว่า

$e(x-f)=\mathrm {PF}$

โดย $\mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}$ ดังนั้น ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการข้างต้น และจัดรูปใหม่ได้เป็น

$x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}$

จากนั้นจัดรูปใหม่ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$\left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}$

นี่เป็นรูปแบบพื้นฐานของไฮเพอร์โบลาบนทรงกรวย จากนั้นทำการแปลงเพิ่มเติม $X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f$, Y= y แล้วจัดเรียงใหม่ให้เหมาะสมก็จะได้รูปสมการดังที่กล่าวข้างต้น

อ้างอิง

• 田端毅; 讃岐勝; 礒田正美 (2009-12-25). 礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編 (บ.ก.). 曲線の事典　性質・歴史・作図法. 共立出版. ISBN 978-4-320-01907-2.
• 中村滋 (2011-12-30). 円錐曲線　歴史とその数理. 数学のかんどころ 7. 共立出版. ISBN 978-4-320-01987-4.