ไฮโพไซคลอยด์

ไฮโพไซคลอยด์ (อังกฤษ: hypocycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นโดยกำหนดจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลมวงหนึ่ง แล้วกลิ้งรูปวงกลมนั้นไปบนขอบ ด้านใน ของรูปวงกลมอีกรูปหนึ่งซึ่งอยู่กับที่ รอยที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุดอ้างอิงจะได้เส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์

เส้นโค้งนี้จัดว่าเป็นรูเลตต์ชนิดหนึ่ง และเป็นกรณีพิเศษของไฮโพโทรคอยด์ (epitrochoid) วิวัฒน์ (evolute) และอาวัต (involute) ของเส้นโค้งนี้จะมีรูปร่างคล้ายกับเส้นโค้งเดิม ^[1]^[2]

สมการ[แก้]

รูปร่างของไฮโพไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นไฮโพไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)

y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)

หรือ

x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,

y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\,

ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายฟันเฟือง และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
- โดยเฉพาะเมื่อ k = 2 รูปที่ได้จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียวเรียกว่า รูปวงกลมการ์ดาโน (Cardano circle) ซึ่งตั้งชื่อตาม เจโรลาโม การ์ดาโน (Gerolamo Cardano) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้ศึกษาไฮโพไซคลอยด์เป็นครั้งแรก
ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = p/q ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิดคล้ายรูปดาว
ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R − 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)