ไซคลอยด์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไซคลอยด์เกิดจากการกลิ้งล้อกลม

ไซคลอยด์ (อังกฤษ: cycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง นิยามจากรอยเคลื่อนที่ของจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลม (ล้อกลม) ซึ่งรูปวงกลมนั้นกลิ้งไปตามเส้นตรง ทำให้เกิดเส้นโค้งนูนเป็นลอนเป็นระยะ

ไซคลอยด์เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูเลตต์ (roulette) ซึ่งเกิดจากกลิ้งล้อกลมบนเส้นโค้งอื่น และเป็นกรณีหนึ่งของโทรคอยด์ (trochoid) ซึ่งจุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นรอบรูปวงกลม

สมการ[แก้]

ไซคลอยด์ที่สร้างขึ้นจากรูปวงกลมรัศมี r = 2 หน่วย

ไซคลอยด์ที่ลากผ่านจุดกำเนิด ซึ่งสร้างขึ้นโดยรูปวงกลมรัศมี r ที่กลิ้งบนแกน x มีสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

เมื่อ t เป็นจำนวนจริง คือมุมในหน่วยเรเดียนที่รูปวงกลมกลิ้งไป (บางครั้งอาจใช้ θ แทน t)

เส้นโค้งชนิดนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกตำแหน่งยกเว้น บัพแหลม (cusp)

คือจุดที่สัมผัสกับแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะกลายเป็น ∞ หรือ −∞ เมื่อเข้าใกล้จุดบัพแหลม ซึ่งตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญดังนี้

พื้นที่ใต้กราฟ[แก้]

เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี r จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม t ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]

และเนื่องจาก

เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหาปริพันธ์ดังนี้

นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม

ความยาวเส้นโค้ง[แก้]

ความยาวของเส้นโค้งไซคลอยด์หนึ่งรอบ สามารถหาได้จากความยาวของส่วนย่อยๆ บนเส้นโค้ง ซึ่ง t มีค่าในช่วง [0, 2π]

นั่นคือเท่ากับแปดเท่าของรัศมีของรูปวงกลม

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]