ปัญหาของฮิลเบิร์ท

ปัญหาของฮิลเบิร์ท (อังกฤษ: Hilbert's problems) คือ ปัญหาคณิตศาสตร์ทั้ง 23 ข้อ ที่ตั้งโดยดาวิท ฮิลเบิร์ท นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้นำเสนอต่อที่ประชุมสภานักคณิตศาสตร์นานาชาติ (International Congress of Mathematicians) ณ กรุงปารีส เมื่อ ค.ศ. 1900 ปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาที่ยังไม่มีใครแก้ได้ในเวลานั้น และมีอิทธิพลต่อวงการคณิตศาสตร์เป็นอย่างมากในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ฮิลเบิร์ทได้เสนอปัญหา 10 ข้อต่อที่ประชุม (ปัญหาข้อ 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 และ 22) เมื่อวันที่ 8 สิงหาคม และได้เสนอปัญหาข้ออื่น ๆ ในภายหลัง

ข้อมูล

ปัญหาของฮิลเบิร์ท 23 ข้อ มีดังนี้

#	สถานะ	อธิบาย
1	สรุปไม่ได้	สมมติฐานความต่อเนื่อง (ไม่มีเซตที่มีภาวะเชิงการนับอยู่ระหว่างเซตของจำนวนเต็มกับเซตของจำนวนจริง)
2	ไม่ชัดเจน	พิสูจน์ว่าสัจพจน์ของเลขคณิตมีความต้องกัน (นั่นคือระบบรูปนัยทางเลขคณิตต้องไม่ก่อให้เกิดข้อขัดแย้งใดๆ ขึ้นมา) (คำตอบ: เกอเดล พิสูจน์ในปี ค.ศ. 1931 ว่า ระบบรูปนัยทางเลขคณิตไม่สามารถพิสูจน์ความต้องกันด้วยตัวเองได้ ต่อมา ในปี ค.ศ. 1936 เกนท์เซนพิสูจน์ได้ว่าระบบรูปนัยทางเลขคณิตมีความต้องกัน จากคุณสมบัติรากฐานดีของจำนวนเชิงอันดับ $\epsilon _{0}$ แต่ยังขาดความเป็นเอกฉันท์ว่าข้อพิสูจน์เหล่านี้ตอบโจทย์ได้เพียงพอหรือไม่)
3	แก้ได้แล้ว	หากมีทรงหลายหน้าใด ๆ 2 ทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน เราสามารถตัดทรงแรกเป็นชิ้นส่วนจำนวนจำกัด โดยทุกชิ้นเป็นทรงหลายหน้า แล้วนำมาประกอบใหม่เป็นทรงที่สองได้เสมอหรือไม่ (คำตอบ: ไม่ได้ พิสูจน์โดยใช้สมบัติไม่แปรเปลี่ยนของเดห์น (Dehn invariant))
4	คลุมเครือเกินไป	สร้างเมตริกทั้งหมด ที่มีเส้นเป็นจีโอเดสิก
5	ไม่ชัดเจน	กรุปที่ต่อเนื่องเป็นกรุปดิฟเฟอเรนเชียล (Differential group) เสมอหรือไม่ (คำตอบ: แอนดรูว์ กลีสัน พิสูจน์ว่าไม แต่ทั้งนี้ขึ้นกับการตีความโจทย์ ถ้าตีความว่าตรงกับ ข้อความคาดการณ์ฮิลเบิร์ต-สมิธ ยังไม่มีคำตอบ)
6	ไม่เป็นคณิตศาสตร์	หาสัจพจน์ที่สามารถอธิบายฟิสิกส์ทั้งหมด (ทำฟิสิกส์ให้เป็นระบบรูปนัย)
7	แก้ได้แล้ว	หาก a ≠ 0,1 เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต a b จำเป็นต้องเป็นจำนวนอดิศัย (คำตอบr: จำเป็น โดยทฤษฎีบทของเกลฟอนด์ และ ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์).
8	ยังแก้ไม่ได้	สมมติฐานของรีมันน์ (ส่วนจริงของศูนย์ที่ไม่ชัด(non-trivial zeros) ของฟังก์ชันซีตาของรีมัน เป็น ½ เสมอ) และข้อคาดการณ์ของโกลด์บาค (จำนวนคู่ที่มากกว่า 2 ทุกตัวสามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ 2 ตัวได้เสมอ).
9	แก้ได้บางส่วน	หารูปทั่วไปที่สุดของทฤษฎี reciprocity ในฟีลด์จำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number field) ใด ๆ
10	แก้ได้แล้ว	พิสูจน์ความแก้ได้ของสมการไดโอแฟนไทน์ใด ๆ (คำตอบ: เป็นไปไม่ได้ จากทฤษฎีบทของมาทิยาเซวิช)
11	แก้ได้บางส่วน	การแก้ฟอร์มดีกรีสอง(quadratic form) โดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงพีชคณิต
12	ยังแก้ไม่ได้	ขยายทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์ว่าด้วยส่วนขยายอาเบเลียนของระบบจำนวนตรรกยะให้ใช้ได้กับฟีลด์ของจำนวนใด ๆ
13	แก้ได้บางส่วน	แก้พหุนามดีกรีเจ็ดใด ๆ โดยใช้ฟังก์ชันในสองตัวแปร
14	แก้ได้แล้ว	ริงของสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของกรุปเชิงพีชคณิตบนริงพหุนาม สามารถสร้างอย่างจำกัดได้เสมอหรือไม่ (คำตอบ: ไม่ มาซาโยชิ นางาตะ พบตัวอย่างค้าน)
15	แก้ได้บางส่วน	หารากฐานที่แม่นยำของแคลคูลัสการนับของชูแบร์ต.
16	ยังแก้ไม่ได้	ทอพอโลยี ของเส้นและผิวโค้ง
17	แก้ได้แล้ว	การเขียนฟังก์ชันเศษส่วนพหุนามที่ไม่เป็นลบเป็นเศษส่วนของผลบวกกำลังสอง (คำตอบ: เอมิล อาร์แตง พิสูจน์หาขอบเขตบนของจำนวนพจน์กำลังสองที่ต้องการ)
18	แก้ได้แล้ว	มีทรงหลายหน้าที่ทำเทสเซลเลชันของพื้นที่ 3 มิติได้เฉพาะแบบไม่เป็นระเบียบหรือไม่ (คำตอบ: มี) การเรียงทรงกลมอย่างไรที่แน่นที่สุด (คำตอบ: จากการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ พบว่าเป็นแบบ face-centred cubic และ hexagonal close-packing ซึ่งแน่น 74 %)
19	แก้ได้แล้ว	คำตอบของโจทย์ทั่วไปแคลคูลัสของการแปรผันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เสมอหรือไม่ (คำตอบ: เป็น พิสูจน์โดยเอนนิโอ เด จอร์จิ และ จอห์น แนช ด้วยวิธีการต่างกัน)
20	แก้ได้แล้ว	การแก้ปัญหาในแคลคูลัสของการแปรผันที่มีขอบเขตปกติ
21	แก้ได้บางส่วน	พิสูจน์ความมีตัวตนของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีโมโนโดรมิกกรุปตามต้องการ
22	ยังแก้ไม่ได้	การรวมความสัมพันธ์เชิงวิเคราะห์เป็นหนึ่งเดียวโดยใช้ฟังก์ชันออโตมอร์ฟิก
23	คลุมเครือเกินไป	การพัฒนาวิชาแคลคูลัสของการแปรผันให้ลึกขึ้น