ปัญหาของฮิลแบร์ท

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ปัญหาของฮิลแบร์ท (อังกฤษ: Hilbert's problems) คือ ปัญหาคณิตศาสตร์ทั้ง 23 ข้อ ที่ตั้งโดย ดาฟิด ฮิลแบร์ท (David Hilbert) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้นำเสนอต่อที่ประชุมสภานักคณิตศาสตร์นานาชาติ (International Congress of Mathematicians) ณ กรุงปารีส เมื่อ ค.ศ. 1900 ซึ่งปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาที่ยังไม่มีใครแก้ได้ในเวลานั้น และมีอิทธิพลต่อวงการคณิตศาสตร์เป็นอย่างมากในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ฮิลแบร์ทได้เสนอปัญหา 10 ข้อต่อที่ประชุม (ปัญหาข้อ 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 และ 22) เมื่อวันที่ 8 สิงหาคม และได้เสนอปัญหาข้ออื่น ๆ ในภายหลัง

ข้อมูล[แก้]

ปัญหาของฮิลแบร์ท 23 ข้อ มีดังนี้

# สถานะ อธิบาย
1 สรุปไม่ได้ สมมติฐานความต่อเนื่อง (ไม่มีเซตที่มีขนาดอยู่ระหว่างเซตของจำนวนเต็ม กับเซตของจำนวนจริง)
2 แก้ได้แล้ว พิสูจน์ว่าสัจพจน์ของเลขคณิตมีความต้องกัน (นั่นคือระบบรูปนัยทางเลขคณิตต้องไม่ก่อให้เกิดข้อขัดแย้งใดๆ ขึ้นมา) เกอเดล พิสูจน์ในปี ค.ศ. 1931 ว่า ระบบรูปนัยทางเลขคณิตไม่สามารถพิสูจน์ความต้องกันด้วยตัวเองได้ ต่อมา ในปี ค.ศ. 1936 เกนท์เซนพิสูจน์ได้ว่าระบบรูปนัยทางเลขคณิตมีความต้องกัน จากคุณสมบัติรากฐานดีของจำนวนเชิงอันดับ \epsilon_0
3 แก้ได้แล้ว Can two tetrahedra be proved to have equal volume (under certain assumptions)? (Answer: no, using Dehn invariants.)
4 คลุมเครือเกินไป Construct all metrics where lines are geodesics.
5 แก้ได้แล้ว Are continuous groups automatically differential groups?
6 ไม่เป็นคณิตศาสตร์ หาสัจพจน์ที่สามารถอธิบายฟิสิกส์ทั้งหมด (ทำฟิสิกส์ให้เป็นระบบรูปนัย)
7 แก้ได้แล้ว Is a b transcendental, for algebraic a ≠ 0,1 and irrational algebraic b ? (Answer: yes: Gelfond's theorem or the Gelfond–Schneider theorem).
8 ยังแก้ไม่ได้ สมมติฐานของรีมันน์ (the real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ½) and Goldbach's conjecture (every even number greater than 2 can be written as the sum of two prime numbers).
9 แก้ได้บางส่วน Find most general law of the reciprocity theorem in any algebraic number field
10 แก้ได้แล้ว Determination of the solvability of a Diophantine equation: Matiyasevich's theorem implies that this is impossible.
11 แก้ได้แล้ว Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients.
12 ยังแก้ไม่ได้ Extend Kronecker's theorem on abelian extensions of the rational numbers to any base number field.
13 แก้ได้แล้ว Solve all 7-th degree equations using functions of two parameters.
14 แก้ได้แล้ว Proof of the finiteness of certain complete systems of functions.
15 แก้ได้แล้ว Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.
16 ยังแก้ไม่ได้ Topology of algebraic curves and surfaces.
17 แก้ได้แล้ว Expression of definite rational function as quotient of sums of squares
18 แก้ได้แล้ว Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What is the densest sphere packing?
19 แก้ได้แล้ว Are the solutions of Lagrangians always analytic?
20 แก้ได้แล้ว Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions?
21 แก้ได้แล้ว Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group
22 แก้ได้แล้ว Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions
23 แก้ได้แล้ว Further development of the calculus of variations