จานแอรี

ภาพเคลื่อนไหวสามมิติแสดงความเข้มแสงของจานแอรีเมื่อปรับขนาดรูรับแสงต่างกันไป

จานแอรีและแบบรูปแอรีที่ได้จากการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ สีขาวดำแสดงค่าความเข้มเทียบกับใจกลาง

จานแอรีและแบบรูปแอรีที่เกิดจากเลเซอร์สีแดง

จานแอรีที่เกิดจากเลนส์ถ่ายภาพ 2000 มม. f/25

จานแอรี (Airy disc) และ แบบรูปแอรี (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์ทางแสงอย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิงคลื่นของแสงแล้ว แสงที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิดการเลี้ยวเบน แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม

แสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม จอร์จ บิดเดิล แอรี เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม

จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน ฟิสิกส์ ทัศนศาสตร์ และ ดาราศาสตร์

สำหรับในกล้องถ่ายภาพและกล้องโทรทรรศน์แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มีความคลาดทางทัศนศาสตร์ก็ตาม ความละเอียดเชิงแสงของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดยเลนส์นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดยขีดจำกัดการเลี้ยวเบน การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้รูรับแสงขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง

ขนาดของจานแอรี

รัศมีของจานแอรี $\theta$ นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับแกนเชิงแสงเมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้

$\sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{d}}$

โดยที่ $\lambda$ คือความยาวคลื่นของแสง และ $d$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม

ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตามเกณฑ์ของเรย์ลี พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้

ตัวอย่าง

กล้องถ่ายภาพ

หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว

ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว (ความละเอียดเชิงแสงของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น

$\sin \theta =1.22\ {\frac {\lambda }{d}}$

โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้

${\frac {x}{f}}=1.22\ {\frac {\lambda }{d}}$

ในที่นี้ $x$ คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม $f$ ระยะทางระหว่างเลนส์ถึงฟิล์ม คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ

$x=1.22\ {\frac {\lambda f}{d}}$

ในที่นี้ ${\frac {f}{d}}$ คือค่าเอฟของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น $\lambda$ ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 นาโนเมตร ในช่วงแสงที่มองเห็นได้ จะได้ว่า $x$ มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่มความหนาแน่นพิกเซลของเซนเซอร์รูปภาพให้หนาแน่นขึ้น ความละเอียดเชิงแสงจริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้

ตาของมนุษย์

ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1 เมื่อรูม่านตาขยายมากที่สุด กำลังการแยกบนจอตาอยู่ที่ประมาณ 1 ไมโครเมตร ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่รอยบุ๋มจอตาอยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร

ลำแสงเลเซอร์

เมื่อฉายลำแสงเลเซอร์วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี

เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี

แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่าการเลี้ยวเบนแฟรแนล

ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

1) แสงที่ส่องผ่านรูรับแสงวงกลมเป็นคลื่นราบ

2) ความเข้มของแสงที่กระทบรูรับแสงวงกลมสม่ำเสมอเท่ากันตลอดทั้งวง

3) ระยะห่าง R จากรูรับแสงวงกลมมากพอ และรัศมีของรูเปิด a ไม่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสง $\lambda$ นั่นคือ $R>a^{2}/\lambda$

คำอธิบายด้วยสมการ

การเลี้ยวเบนจากรูรับแสงวงกลม แบบรูปแอรีจะเห็นได้เมื่อ $R>a^{2}/\lambda$

การเลี้ยวเบนโดยใช้เลนส์ที่มีรูรับแสงเป็นวงกลม ภาพระยะไกลจะสังเกตได้เฉพาะบนระนาบการโฟกัสที่ระยะ R=f (โดยที่ f=ความยาวโฟกัส)

ความเข้มแสงบนแบบรูปแอรีในช่วง kasinθ = [−10, 10]

ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย

$I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right)^{2}$

ในที่นี้ $I_{0}$ คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน $J_{1}$ เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง $k={2\pi }/{\lambda }$ คือเลขคลื่น $a$ คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม $\theta$ คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ

$x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}}={\frac {\pi q}{\lambda N}}$

โดยที่ $q$ คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ $N=R/d$ คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย $d=2a$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ $R$ คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ $R=f$ (โดยที่ $f$ คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ $\theta \rightarrow 0$ (หรือ $x\rightarrow 0$) คือ $I(0)=I_{0}$

$J_{1}(x)$ จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ $x=ka\sin \theta \approx 0,3.8317,7.0156,10.1735,13.3268,16.4706...$ วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้

$\sin \theta ={\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}$ .

ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ $q_{1}$ และมุม $\theta$ คือ

$q_{1}=R\sin \theta$

โดยที่ $R$ คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง $x$ ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ $J_{1}(x)=1/2$) คือ $x=1.61633...$ ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e² ($J_{1}(x)=1/e^{2}$) คือ $x=2.58383...$ ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ $x=5.13562...$

ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน $I_{0}$ กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม $P_{0}$ แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

$I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}$

ในที่นี้ $\mathrm {E}$ คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม A คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม ($A=\pi a^{2}$) R คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น $I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})$ ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี

ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม $\theta$ ที่กำหนดคำนวณได้เป็น

$P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]$

ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง $J_{1}(ka\sin \theta )=0$) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ

แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง

การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้

$I(\theta )={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}$

ในที่นี้ $\epsilon$ คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม $\left(0\leq \epsilon <1\right)$ และ $x$ นิยามเป็น $x=kasin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}$ โดยที่ $R$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส $\lambda$ คือความยาวคลื่น และ $N$ คือค่าเอฟของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $R$ ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย

$E(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)$

เมื่อ $\epsilon \rightarrow 0$ จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง