ส่วนเติมเต็ม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ส่วนเติมเต็ม หรือ คอมพลีเมนต์ (อังกฤษ: complement) คือแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซต เพื่อที่จะให้ทราบว่า เมื่อเซตหนึ่งสัมพันธ์กับอีกเซตหนึ่ง มีสมาชิกใดบ้างที่อยู่ภายใต้เซตเพียงเซตเดียว แบ่งออกตามการใช้งานเป็น ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ (absolute complement) กับ ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ (relative complement) ซึ่งแนวคิดแรกหมายถึงส่วนเติมเต็มที่เกี่ยวข้องกับเอกภพสัมพัทธ์ (universal set) ส่วนแนวคิดหลังเกี่ยวข้องกับเซตตัวอื่น

[แก้] ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์

พื้นที่สีเทาคือส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว ดังนั้นส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน U จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A (หรือเรียกแค่ส่วนเติมเต็มก็ได้) เขียนแทนด้วย A^C หรือ A′ นั่นคือ

$A^\mathrm{C} = \mathbf{U} \setminus A = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \notin A \}$

หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน U ตัวอย่างเช่น ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจำนวนเต็ม ดังนั้นส่วนเติมเต็มของเซตจำนวนคู่ ก็คือเซตจำนวนคี่

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A และ B เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U

กฎเดอมอร์แกน
- $(A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}$
- $(A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}$
กฎส่วนเติมเต็ม
- $A \cup A^\mathrm{C} = \mathbf{U}$
- $A \cap A^\mathrm{C} = \varnothing$
- $\varnothing^\mathrm{C} = \mathbf{U}$
- $\mathbf{U}^\mathrm{C} = \varnothing$
- $A \subseteq B \Rightarrow B^\mathrm{C} \subseteq A^\mathrm{C}$
อาวัตนาการ (involution) หรือกฎส่วนเติมเต็มซ้ำสอง
- $(A^\mathrm{C})^\mathrm{C} = A\,$
ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์และส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์
- $A \setminus B = A \cap B^\mathrm{C}$
- $(A \setminus B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B$

[แก้] ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์

พื้นที่สีม่วงคือส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B

กำหนดให้เซต A และ B ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B (หรือเรียกว่าผลต่างของเซต B กับ A) หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน B เขียนแทนด้วย B ∖ A หรือ B − A