การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ (อังกฤษ: Cantor's diagonal argument) เป็นวิธีการพิสูจน์ของ เกออร์ก คันทอร์ ที่แสดงให้เห็นว่า จำนวนจริงไม่เป็นอนันต์นับได้ (countably infinite).

วิธีการแนวทแยง ไม่ได้เป็นการพิสูจน์การนับไม่ได้ของจำนวนจริงอันแรกของคันทอร์ แต่เป็นการพิสูจน์ที่เผยแพร่หลัง 3 ปีของการพิสูจน์อันแรก วิธีการพิสูจน์อันแรกของเขาไม่เกี่ยวข้องกับการกระจายทศนิยม หรือระบบตัวเลข

ตั้งแต่ที่มีการใช้วิธีพิสูจน์นี้ ได้มีการพิสูจน์ที่คล้ายๆกันอีกหลายแบบ ซึ่งเรียกว่าเป็นวิธีการแนวทแยง โดยดูจากวิธีที่ใช้ในการพิสูจน์

จำนวนจริง[แก้]

การพิสูจน์ของคันทอร์ แสดงให้เห็นว่า ช่วง [0,1] ไม่เป็น อนันต์นับได้

การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง มีขั้นตอนดังนี้

  1. สมมติว่าช่วง [0,1] เป็น อนันต์นับได้
  2. เราจะแจงจำนวนทั้งหมดในช่วงนี้ด้วยลำดับ ( r1, r2, r3, ... )
  3. เรารู้ว่าจำนวนเหล่านี้สามารถเขียนในรูปการกระจายทศนิยมได้
  4. เราจะเรียงจำนวนให้เป็นแถว ในกรณีที่การกระจายทศนิยมเป็น 0.499 ... = 0.500 ..., เราจะเลือกอันที่ลงท้ายด้วย 9. จากตัวอย่าง การกระจายทศนิยมที่เริ่มต้นของลำดับเป็นดังนี้
  5.  : r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
  6.  : r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
  7.  : r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
  8.  : r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
  9.  : r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
  10.  : r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
  11.  : r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
  12.  : ...
  13. เราจะสร้างจำนวนจริง x ซึ่งอยู่ใน [0,1] โดยการพิจารณา เลขหลักที่ k หลังจุดทศนิยมของการกระจายทศนิยมของ rk ซึ่งเราจะขีดเส้นใต้และทำตัวหนาเอาไว้ การพิสูจน์นี้จึงมีชื่อเรียกว่า การพิสูจน์แนวทแยง
  14.  : r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
  15.  : r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
  16.  : r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
  17.  : r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
  18.  : r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
  19.  : r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
  20.  : r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
  21.  : ...
  22. จากทศนิยมเหล่านี้ เราจะนิยามทศนิยมของ x ดังนี้
    • ถ้าเลขหลักที่ k ของ rk เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ k ของ x เป็น 4
    • ถ้าเลขหลักที่ k ของ rk ไม่เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ k ของ x เป็น 5
  23. ดังนั้น x จึงเป็นจำนวนจริง (เพราะว่าการกระจายทศนิยมอยู่ในรูปจำนวนจริง) ที่อยู่ในช่วง [0,1]. จากตัวอย่างข้างบน เราจะได้การกระจายทศนิยมดังนี้
  24.  : x = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
  25. เรารู้ว่าจะต้องมี n ที่ทำให้ rn = x เพราะว่าเรากำหนดให้ ( r1, r2, r3, ... ) แจงจำนวนจริงทั้งหมดในช่วง [0,1]
  26. แต่ว่าการเลือกเลข 4 และเลข 5 ของ x ในข้อ (6) จะทำให้ x จะแตกต่างในหลักที่ n ของ rn ดังนั้น x ไม่อยู่ในลำดับ ( r1, r2, r3, ... )
  27. ดังนั้น ลำดับนี้ไม่ได้เป็นการแจงจำนวนจริงทั้งหมดในช่วง [0,1] เกิดข้อขัดแย้ง
  28. ดังนั้น สมมติฐาน (1) ที่ว่าช่วง [0,1] เป็นอนันต์นับได้ จึงเป็นเท็จ

บทพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นว่าเซต R ของจำนวนจริงทั้งหมดนั้นนับไม่ได้. ถ้า R นับได้แล้ว เราจะแจงจำนวนจริงทั้งหมดให้อยู่ในลำดับนี้ได้ และทำให้เป็นลำดับ [0,1] โดยการลบจำนวนจริงที่อยู่นอกช่วงนี้ออกไป แต่เราเห็นแล้วว่าไม่สามารถทำได้. นอกจากนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่า [0,1] และ R มีขนาดเท่ากันโดยการสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างกัน ซึ่งอาจจะไม่สะดวกสำหรับการทำในช่วง [0,1]; สำหรับช่วงเปิด (0,1) เราจะให้ f\colon (0,1) \rightarrow\mathbb{R} โดยนิยามว่า f (x) = \tan\left (\pi\left (x-\frac{1}{2}\right) \right) .