พีชคณิตแบบบูล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล (อังกฤษ: Boolean algebra) คือโครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตามจอร์จ บูล ผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

ประวัติ[แก้]

จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ตเวิร์กที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิตอล

นิยาม[แก้]

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ \land (AND) กับ \lor (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ \lnot / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ \lor สมบัติของ \and ชื่อเรียก
 a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c  a \land (b \land c) = (a \land b) \land c การเปลี่ยนหมู่
 a \lor b = b \lor a  a \land  b = b \land a การสลับที่
 a  \lor (a \land b) = a  a  \land (a \lor b) = a absorption
 a \lor  (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)  a \land  (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) การแจกแจง
 a \lor  \lnot a = 1  a \land \lnot a = 0 ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ \lor สมบัติของ \and ชื่อเรียก
 a \lor a = a  a \land a = a นิจพล (idempotency)
 a \lor 0 = a  a \land 1 = a มีขอบเขต (boundedness)
 a \lor 1 = 1  a \land 0 = 0
 \lnot 0 = 1  \lnot 1 = 0 0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
 \lnot (a \lor b) = \lnot a  \land \lnot b  \lnot (a \land b) = \lnot a  \lor \lnot b กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
 \lnot \lnot a = a อวัตนาการ (involution)

ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่างๆ[แก้]

ตัวดำเนินการของบูล
ตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต วงจรดิจิตอล
true U (เอกภพสัมพัทธ์) 1
false \emptyset (เซตว่าง) 0
\lor \cup +
\land \cap \cdot

การนำไปใช้[แก้]

  • เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
  • พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ