ยูเนียน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ยูเนียน (อังกฤษ: union) หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

นิยาม[แก้]

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต A กับ B พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

A \cup B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \or x \in B \}

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น


\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \\
\end{align}

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้


\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3 \} \\
B &= \{ 2, 3, 4 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
\end{align}

สมบัติ[แก้]

ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

รูปแบบ[แก้]

ยูเนียนจำกัด[แก้]

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต ABC ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

ยูเนียนไม่จำกัด[แก้]

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย \bigcup \mathbf{M} หรือ \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A ดังนี้

x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A

การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ \bigcup_{i \in I} A_{i} หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

A \cap \bigcup_{i \in I} B_{i} = \bigcup_{i \in I} (A \cap B_{i})

และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

\bigcup_{i \in I} \left( \bigcap_{j \in J} A_{i,j} \right) \subseteq \bigcap_{j \in J} \left( \bigcup_{i \in I} A_{i,j} \right)

อ้างอิง[แก้]

  • วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]