ฐาน (ระบบเลข)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก Radix)

ระบบเลขฐานประกอบด้วยเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16

ระบบเลขฐาน 2 (Binary Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 2 ตัว ได้แก่เลข 0 กับ เลข 1 ซึ่งเป็นเลขฐานที่คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจได้ง่าย เพราะว่าอุปกรณ์ทางไฟฟ้าก็มีสถานะเพียง 2 สถานะ คือ เปิด กับ ปิด ซึ่งก็เทียบได้กับ 0 กับ 1 แต่ถ้าใช้เลขฐาน 10 ในคอมพิวเตอร์อาจจะเกิดปัญหาอย่างอื่นตามมา หรือแม้แต่อุปกรณ์ทางไฟฟ้า ก็ต้องแบ่งสถานะออกเป็น 10 สถานะ ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก การเก็บข้อมูลในระบบของคอมพิวเตอร์ก็จะจัดเก็บเป็นกลุ่มตัวเลขฐานสองหลายบิต ขึ้นอยู่กับขนาดของสิ่งที่ต้องการเก็บ และหน่วยความจำที่ใช้

ระบบเลขฐาน 8 (Octal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 8 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซึ่งเป็นเลขฐานที่เพิ่มเนื้อที่หน่วยความจำในการเก็บให้มากขึ้น การเก็บข้อมูลเป็นเลขฐาน 8 จะทำให้เก็บข้อมูลได้มากขึ้น

ระบบเลขฐาน 10 (Decimal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ซึ่งระบบเลขฐาน 10 เป็นระบบเลขฐานที่คนทั่วไปสามารถเข้าใจได้เป็นอย่างดี เพราะเป็นตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันซึ่งใช้มาตลอด สามารถจำได้และคำนวณได้ง่ายกว่าเลขฐานอื่น ๆ

ระบบเลขฐาน 16 (Hexadecimal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัวและตัวอักษรแทนตัวเลขอีก 6 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตัวอักษรภาษาอังกฤษแทน 10 ถึง 15 ได้แก่ A, B, C, D, E, F ซึ่งก็จะเก็บข้อมูลได้มากกว่าระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8


การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 10 เลขฐาน 2 แต่ละหลักมีเลขประจำหลักต่างกันไปในการแปลงเป็นเลขฐานอื่น โดยเริ่มจาก

         หลักหน่วย   จะเท่ากับ   2^0   หรือเท่ากับ    1
    หลักสิบ       จะเท่ากับ   2^1   หรือเท่ากับ    2
    หลักร้อย     จะเท่ากับ   2^2   หรือเท่ากับ    4
    หลักพัน      จะเท่ากับ   2^3   หรือเท่ากับ    8
    หลักหมื่น    จะเท่ากับ   2^4   หรือเท่ากับ  16

และหลักถัดไปก็จะยกกำลังเพิ่มขึ้น บวกหนึ่งไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนหลักของเลขฐานสอง หรือถ้าสังเกตดี ๆ จะเห็นได้ว่า ตัวเลขจะมีการเพิ่มขึ้นหนึ่งเท่าทุก ๆ จำนวน เริ่มจาก 1 เป็น 2 2 เป็น 4 4 เป็น 8 8 เป็น 16 16 เป็น 32 32 เป็น 64 ไปเรื่อย ๆ

ยกตัวอย่างเช่น แปลงเลข 10101 ฐาน 2 เป็นเลข ฐาน 10 วิธีทำ

 วิธีที่ 1    จับตัวเลขของแต่ละหลัก คูณกับเลขประจำหลักของแต่ละตัว แล้วนำผลของแต่ละตัวมาบวกกัน
              10101  = [(1*2^4) + (0*2^3) + (1*2^2) + (0*2^1) + (1*2^0) 
             
             = 16 + 0 + 4 + 0 + 1
             = 21
วิธีที่ 2  แทนค่าเลขประจำหลักโดยไม่ต้องคูณ   โดยให้นำเลขประจำหลักของเลขฐาน 2 ที่มีค่าเป็น 1มาบวกกัน
                                                   16   8   4   2  1
              10101 =     1   0   1   0  1
       จากเลขประจำหลักของแต่ละหน่วย   จะได้  16 + 4 + 1  = 21  ซึ่งได้คำตอบเท่ากับ

การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขฐาน 2 ใช้วิธีเช่นเดียวกับวิธีที่ 2 ของการแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 10 โดยการให้ตัวเลขที่นำมาบวกกันแล้วได้เลขเท่ากับ เลขฐาน 2 ที่ต้องการแปลงเท่ากับ 1 ถ้าตัวไหนไม่ได้นำมาบวกให้เท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น แปลง 252 ฐาน 10 เป็นเลขฐาน 2 วิธีการ ใช้หลักการของตัวเลขประจำหลัก คือ จาก 1 เป็น 2 จาก 2 เป็น 4 จาก 4 เป็น 8 จาก 8 เป็น 16

      ซึ่งตัวเลขที่นำมาบวกกันแล้วได้ 252  ได้แก่  128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 ส่วนเลข 2 กับ 1 ไม่ได้นำมาบวกก็ให้เท่ากับ 0
      จะได้ 11111100 ฐาน 2


ตัวอย่างการแปลงเลขระหว่างระบบเลขฐาน[แก้]

เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16
0 0 0 0
1 1 1 1
10 2 2 2
11 3 3 3
100 4 4 4
101 5 5 5
110 6 6 6
111 7 7 7
1000 10 8 8
1001 11 9 9
1010 12 10 A
1011 13 11 B
1100 14 12 C
1101 15 13 D
1110 16 14 E
1111 17 15 F