จำนวนจินตภาพ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ (อังกฤษ : imaginary number หรือ จำนวนจินตภาพแท้ (real imaginary number)) คือจำนวนเชิงซ้อนที่ค่ากำลังสองเป็นจำนวนจริงลบ หรือศูนย์ จำนวนจินตภาพเจอโรลาโม คาร์ดาโน นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีค้นพบและยืนยันว่ามีอยู่ในช่วง ค.ศ. 1500 แต่ยังไม่เข้าใจคุณสมบัติของมันดีนัก และต่อมาถูกนิยามเมื่อ ค.ศ. 1572 โดยราฟาเอล บอมเบลลี ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ก็เชื่อกันว่าจำนวนดังกล่าวไม่มีอยู่จริง เพราะบางครั้งก็ถือว่าศูนย์และจำนวนลบไม่มีประโยชน์ หรือไม่มีอยู่จริง ในตอนแรกนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จำนวนมากยังไม่ยอมเชื่อเรื่องจำนวนจินตภาพ เช่น เดส์การตส์ ซึ่งได้เขียนเรื่องดังกล่าวเอาไว้ในตำราของเขา La Géométrie ซึ่งมีความหมายว่าทัศนะเชิงวิจารณ์ [1] อย่างไรก็ดี เดส์การตส์เป็นผู้ใช้ศัพท์คำว่าจำนวนจินตภาพอย่างกว้างขวางในงานตีพิมพ์เป็นครั้งแรกใน ค.ศ. 1637 จนในที่สุดจำนวนจินตภาพนี้ได้รับการยอมรับหลังจากงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783) และ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777–1855).

นิยาม[แก้]

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z อาจเขียนได้ดังนี้

z = x + iy \ ,

โดยที่ x\ และ y\ เป็น จำนวนจริง (real number) และ i\ เป็นหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติตามนิยาม ดังนี้

i^2 = -1.\

จำนวน x\ นิยามได้จาก

x = \operatorname{Re} (z)

เป็นส่วนจริง (real part) ของจำนวนเชิงซ้อน z\ , และ y\ , นิยามได้จาก

y = \operatorname{Im} (z)

เป็นส่วนจินตภาพ (imaginary part) แม้ว่าเดิมนั้นเดการ์ตส์จะใช้คำว่า "จำนวนจินตภาพ" เพื่อหมายถึงสิ่งที่ปัจจุบันนี้รู้จักกันว่า "จำนวนเชิงซ้อน" (complex number) แต่คำว่า "จำนวนจินตภาพ" ในปัจจุบัน ก็มักจะหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป i y ศูนย์ (0) เป็นเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ

บทแทรก[แก้]

i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \ ,
i^4 = i^3 i = (-i) i = - (i^2) = - (-1) = 1 \ ,
i^5 = i^4 i = (1) i = i \ ,
...
เป็นต้น

อ้างอิง[แก้]

  1. Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent (Princeton University Press, 2005) , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.