ผลรวม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม (อังกฤษ: summation) หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ผลบวก (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

สัญกรณ์[แก้]

ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ 1 + 2 + 4 = 7 ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล 1 + 2 + 4 ว่าเป็น (1 + 2) + 4 หรือ 1 + (2 + 4) เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)

ถ้าหากผลรวมหนึ่งๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่[แก้]

คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \cdots + x_{n-1} + x_n

ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้ i = m หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ i = n เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น

\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90

ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น

\sum x_i^2 จะมีความหมายเทียบเท่ากับ \sum_{i=1}^n x_i^2

หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

\sum_{0 \le k < 100} f (k)

คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

\sum_{x \in S} f (x)

คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ

\sum_{d|n}\;\mu (d)

คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น

\sum_{\ell,\ell'} จะมีความหมายเหมือนกับ \sum_\ell\sum_{\ell'}

สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม[แก้]

ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน

sum (x[m:n+1])

ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ

sum (x(m:n))

ภาษาเจ

+/x

ส่วนในภาษาอื่นๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์

Sum = 0
For I = M To N
    Sum = Sum + X (I)
Next I

หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว

int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++) {
    sum += x[i];
}

ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล

$sum = 0;
$sum += $x[$_] for ($m..$n) ;

ภาษารูบี

x[m..n].inject{|a,b| a+b}
x[m..n].inject (0) {|a,b| a+b}

สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้

std::accumulate (&x[m], &x[n + 1], 0)

สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

กรณีพิเศษ[แก้]

มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว

  • ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ x ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ x กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m = n ตามนิยามข้างบน
  • ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m > n หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์[แก้]

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

\int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds

และฟังก์ชันลด f

\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

 \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) = \int_a^b f(x)\ dx

เอกลักษณ์[แก้]

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ

\sum_{n=s}^t C\sdot f(n) = C\sdot \sum_{n=s}^t f(n) เมื่อ C เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)
\sum_{i=s}^n f(C) = (n-s+1)f(C) เมื่อ C เป็นค่าคงตัว
\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]
\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)
\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)
\sum_{i=m}^n x = (n-m+1)x
\sum_{i=1}^n x = nx เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ x
\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2} (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)
\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{(n)(n+1)}{2} (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}
\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}
\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1} เมื่อ B_k เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ k

\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^m}{x-1} (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)
\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ m = 0)
\sum_{i=0}^n i 2^i = 2+2^{n+1}(n-1)
\sum_{i=0}^n \frac{i}{2^i} = \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}
\sum_{i=0}^n i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} (x^n(n(x-1)-1)+1)
\sum_{i=0}^n i^2 x^i = \frac{x}{(1-x)^3} (1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})

\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)
\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}
\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j

\left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2
\sum_{n=a}^b f(n) = \sum_{n=b}^{a} f(n)
\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=-t}^{-s} f(-n)
\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)
\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\sdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\sdot t+z-1} f(n)
\widehat{b}^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t \widehat{b}^{f(n)} (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)
\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)
\lim_{t\rightarrow \infty} \sum_{n=a}^t f(n) = \sum_{n=a}^\infty f(n) (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)
(a + b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i สำหรับการกระจายทวินาม
\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}
\left(\sum_{i=1}^{n} f_i(x)\right)^\prime = \sum_{i=1}^{n} f_i^\prime(x)
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n f\left(a + \frac{b-a}{n}i\right)\cdot\frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x) dx

อัตราการเติบโต[แก้]

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา

\sum_{i=1}^n i^c = \Theta(n^{c+1}) สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า −1
\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n)
\sum_{i=1}^n c^i = \Theta(c^n) สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า 1
\sum_{i=1}^n \log(i)^c = \Theta(n \cdot \log(n)^{c}) สำหรับจำนวนจริง c ที่ไม่เป็นลบ
\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c}) สำหรับจำนวนจริง c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด
\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i = \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n) สำหรับจำนวนจริง b > 1, c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]