เอกลักษณ์การบวก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์การบวก ของเซตที่มีการดำเนินการของการบวก คือสมาชิกในเซตที่บวกกับสมาชิก x ใดๆ แล้วได้ x เอกลักษณ์การบวกตัวหนึ่งที่เป็นที่คุ้นเคยมากที่สุดคือจำนวน 0 จากคณิตศาสตร์มูลฐาน แต่เอกลักษณ์การบวกก็สามารถมีในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นิยามการบวกเอาไว้ เช่นในกรุปหรือริง

นิยามทั่วไป[แก้]

ให้ N เป็นเซตที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการของการบวก ซึ่งเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย +

เอกลักษณ์การบวกของ N คือ สมาชิก e ที่ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง สำหรับทุกสมาชิก n ในเซต N

e + n = n = n + e

ตัวอย่าง[แก้]

0 + 5 = 5 = 5 + 0
0 + n = n = n + 0
  • ในกรุปหนึ่งๆ เอกลักษณ์การบวกคือสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปนั้น ซึ่งมักจะแทนด้วย 0 และมีเพียงค่าเดียว (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
  • ในริงหรือฟีลด์หนึ่งๆ เป็นกรุปที่อยู่ภายใต้การดำเนินการของการบวก ดังนั้นริงหรือฟีลด์นั้นจึงมีเอกลักษณ์การบวกเป็น 0 เช่นกัน ซึ่งสิ่งนี้ถูกนิยามไว้ให้แตกต่างจากเอกลักษณ์การคูณ 1 เมื่อริง (หรือฟีลด์) นั้นมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว แต่ถ้าเอกลักษณ์การบวกกับเอกลักษณ์การคูณคือตัวเดียวกัน ริงนั้นจะเรียกว่ามีภาวะชัด (trivial) (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
  • ในกรุปของเมทริกซ์มิติ m×n เหนือกรุป G หรือเขียนแทนด้วย Mm×n(G) เอกลักษณ์การบวกจะเขียนแทนด้วย 0 และเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์ใน G ทั้งหมด (นั่นคือ 0) ดังตัวอย่าง ในเมทริกซ์มิติ 2×2 เหนือเซตของจำนวนเต็ม M2×2(Z) เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์นี้คือ
\bold{0} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

การพิสูจน์[แก้]

เอกลักษณ์การบวกมีเพียงหนึ่งเดียวในกรุป[แก้]

กำหนดให้ (G, +) เป็นกรุปหนึ่ง และให้ 0 กับ 0' ในเซต G เป็นตัวแทนของเอกลักษณ์การบวก ดังนั้นสำหรับสมาชิก g ใดๆ ในเซต G

0 + g = g = g + 0 และ
0' + g = g = g + 0'

ซึ่งสามารถทำให้

0 + (0') = (0') = (0') + 0 แีพ่ักดเิดกิดกดิ้ก้ิก้ก้เก้เก้เก

จะได้ว่า 0 = 0' นั่นคือ 0 กับ 0' คือค่าเดียวกัน

เอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ แตกต่างกันในริงที่ไม่อยู่ในภาวะชัด[แก้]

กำหนดให้ R คือริงหนึ่ง และสมมติให้เอกลักษณ์การบวก 0 กับเอกลักษณ์การคูณ 1 มีค่าเท่ากัน นั่นคือ 0 = 1 ดังนั้นสำหรับสมาชิก r ใดๆ ในริง R

r = r × 1 = r × 0 = 0

พิสูจน์ได้ว่า R มีภาวะชัด (trivial) นั่นคือ R = {0} (มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ 0) ในทางกลับกันจะได้ว่า เมื่อ R ไม่อยู่ในภาวะชัด ดังนั้น 0 จะไม่เท่ากับ 1 หมายความว่าเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณไม่เท่ากันนั่นเอง

อ้างอิง[แก้]

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]