สมการชเรอดิงเงอร์

แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ ผู้คิดค้นสมการชเรอดิงเงอร์

ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายระบบทางฟิสิกส์ ที่เป็นผลจากปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น ทวิภาคของคลื่นและอนุภาค สมการชเรอดิงเงอร์เป็นสมการที่สำคัญในการศึกษาระบบทางกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrödinger) นักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ได้ค้นพบ "สมการชเรอดิงเงอร์" ในปี พ.ศ. 2468 และถูกตีพิมพ์ในปีต่อมา จากการค้นพบสมการชเรอดิงเงอร์ ทำให้แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ในปี พ.ศ. 2476 สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือที่รู้จักกันว่าสมการคลื่น โดยสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของคลื่นได้

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันโดยเฉพาะกฎข้อที่สอง จะสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยแสดงให้เห็นถึงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ในการทำนายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในระบบ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พฤติกรรมของอนุภาคจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นเราจึงสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาผลเฉลยออกมาเป็นฟังก์ชันคลื่น โดยสมการชเรอดิงเงอร์นี้เป็นการอธิบายธรรมชาติในระดับจุลภาค

สมการชเรอดิงเงอร์แบ่งออกได้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา และสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

สมการ

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา

Time-dependent Schrödinger equation (general) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

โดยที่

i คือ หน่วยจินตภาพ

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

สัญลักษณ์ ∂/∂t แสดงถึง อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา t

Ψ (อักษรกรีกพไซ) คือ ฟังก์ชันคลื่นในระบบควอนตัม

r และ t คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งและเวลาตามลำดับ

Ĥ คือ ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

Time-independent Schrödinger equation (general) $\operatorname {\hat {H}} \Psi =E\Psi$

สมการนี้เป็นการเขียนให้อยู่ในรูปตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน ซึ่งจะเรียกสมการนี้ว่าสมการEigenvalue ที่มีค่าคงตัว E เป็น Eigenvalue และมี Ψ เป็น Eigen function

ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น ศักย์แบบขั้นบันได กำแพงศักย์ บ่อศักย์แบบอนันต์ บ่อศักย์แบบลึกจำกัด เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทางกลศาสตร์ดั้งเดิมแก้ปัญหาอย่างชัดเจน

สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน

ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนเป็นไอเกนฟังก์ชันของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน z (L_z) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก n เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม l และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า n เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน m_s = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า n, l, m and s จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน

การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา

จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ

$V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$

เมื่อ

• ε₀ คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
• Z คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
• e คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
• r คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส

ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น

$\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$

โดย $Y_{lm}$ คือ ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม

จะได้สมการชเรอดิงเงอร์

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left({1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right)+V(r)R(r)\right]=ER(r),$

โดย $\mu$ คือ มวลลดทอน