บ่อศักย์แบบอนันต์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
ค่าพลังงานศักย์แบบกล่องใน 1 มิติ หรือ บ่อศักย์อนันต์

บ่อศักย์แบบอนันต์ หรือเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าอนุภาคในกล่อง (Particle in box) จะมีรูปแบบของเส้นทางการเคลื่อนที่และสมการเป็นดังต่อไปนี้

อนุภาคที่อยู่ในพลังงานศักย์แบบกล่องใน 1 มิติ มักจะเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดทางคณิตศาสตร์ที่ไปลดการควอนไทซ์ (quantization) ของระดับพลังงาน พลังงานศักย์แบบกล่องนั้นคือ จะมีค่าพลังงานศักย์เป็นศูนย์ในทุก ๆ ขอบเขตที่กำหนดไว้ และจะมีค่าพลังงานศักย์เป็นอนันต์ในทุก ๆ ที่ที่อยู่นอกขอบเขตที่กำหนด

สำหรับกรณีที่เป็นแบบ 1 มิติมักจะใช้ในแนสแกน X และสมการชเรอดิงเงอร์แบบที่ไม่ขึ้นกับเวลาจะเขียนได้เป็น

สมการชเรอดิงเงอร์แบบที่ไม่ขึ้นกับเวลา.svg
รูปเส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคในกล่องระหว่าง กฎของนิวตันที่มาจากกลศาสตร์แบบดั้งเดิม (A) กับ สมการชเรอดิงเงอร์ที่มาจากกลศาสตร์ควอนตัม (B-F) จากในรูป B-F กราฟในแนวนอนมีค่าเป็นบวก ในแนวตั้งให้ค่าที่เป็นสองส่วน คือสีฟ้าจะเป็นค่าในส่วนจริงของฟังก์ชันคลื่น และสีแดงจะเป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชันคลื่น รูป B,C,D เป็นค่าพลังงาน eigenstates แต่ E,F ไม่ใช่ค่าพลังงาน eigenstates

การหาค่าอนุพันธ์สามารถหาได้จาก

สมการโมเมนตัม.svg

และจากสมการก่อนหน้านี้สามารถนำมาหาค่าพลังงานจลน์ได้ตามสมการ

สมการพลังงาน.svg

คำตอบทั่วไปของสมการชเรอดิงเงอร์แบบอนุภาคในกล่องคือ

คำตอบทั่วไปของสมการชเรอดิงเงอร์แบบอนุภาคในกล่อง.svg

หรือจากสูตรของ Euler จะได้เป็น

แปลงสมการของ Euler.svg

จากค่าบ่อศักย์อนันต์แบบกล่องนี้สามารถนำมาหาค่าของ C,D และ k เนื่องมาจาก ค่า ψ จะมีค่าเป็น 0 ที่ขอบเขตที่ที่ x = 0 และที่ x = L 

ที่ x = 0 

สมการคลื่นที่x=0.svg

จะได้ค่า D = 0

และที่ x = L

สมการคลื่นที่x=L.svg

ค่าความไม่ต่อเนื่องของระดับพลังงานจะขึ้นอยู่กับค่า k หากเขียนค่าให้ไม่อยู่ในรูปของ k จะได้เป็น 

การหาค่าk.svg

ค่าความไม่ต่อเนื่องของระดับพลังงานจะขึ้นอยู่กับค่า k หากเขียนค่าให้ไม่อยู่ในรูปของ k จะได้เป็น 

Quantization.svg