กำแพงศักย์

ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม การเคลื่อนที่ของอนุภาคใน ศักย์กีดขวางหรือกำแพงศักย์ (The potential barrier) เป็นปัญหาพื้นฐานสำหรับอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์ แบบ 1 มิติที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ การทะลุผ่าน (Tunneling Effect) และการสะท้อนของคลื่นกล การพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบศักย์กีดขวางนี้ ในเบื้องต้นจะใช้การแก้สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาพิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เข้าหากำแพงศักย์ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 แสดงกำแพงศักย์ V₀ ที่มีความกว้าง a

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคเข้าหากำแพงศักย์มีโอกาสที่อนุภาคนี้จะเกิดการสะท้อนเมื่อเคลื่อนที่กระทบกับกำแพงศักย์หรือมีโอกาสที่อนุภาคบางส่วนจะทะลุผ่านกำแพงศักย์ไปได้โดยจะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์การทะลุผ่าน (transmission coefficient) และสัมประสิทธิ์การสะท้อน (reflection coefficient) ซึ่งคำนวณได้จากสมการชเรอดิงเงอร์

$H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)$

เมื่อ $H$ คือ Hamiltonian, $\hbar$ คือ Planck constant, $m$ คือ มวลของอนุภาค, $E$ คือ พลังงานของอนุภาค

การวิเคราะห์อนุภาคที่เคลื่อนที่ในกำแพงศักย์

รูปที่ 2 แสดงความน่าจะเป็นของลักษณะพฤติกรรมของอนุภาคที่เคลื่อนที่ภายในกำแพงศักย์ในบริเวณต่างๆ

จากสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางดังรูปที่ 2 การเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์กีดขวางจะแบ่งการพิจารณาเป็น 3 บริเวณคือ ที่ x < 0, 0 < x < a และ x > a ซึ่งแต่ละบริเวณจะได้ฟังก์ชันคลื่นดังนี้

$\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}\quad x<0$

$\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}\quad 0<x<a$

$\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}\quad x>a$

จากสมการข้างต้นเมื่อเราพิจารณาพลังงานของอนุภาคที่คลื่นในศักย์จะพบว่า เมื่อ

E < V₀

อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางจะมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านเป็น

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$ , $k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}$

จากสมการนี้แสดงให้เห็นว่ามีโอกาสเกิดเหตุการณ์ที่อนุภาคบางส่วนสามารถเคลื่อนที่ผ่านศักย์กีดขวางไปได้ซึ่งแตกต่างการอธิบายตามทฤษฎีแบบคลาสสิค เรียกปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นนี้ว่า การทะลุผ่าน (Tunneling Effect)

E > V₀

อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์กีดขวางจะมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านเป็น

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}}$ , $k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}$

และในกรณีนี้ยังมีโอกาสที่อนุภาคที่เคลื่อนที่ในศักย์จะเกิดการสะท้อนกลับซึ่งแสดงตามสมการ

$\,R=|r|^{2}=1-T.$

อ้างอิง

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck; และคณะ (1996). Quantum mechanics. transl. from the French by Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. pp. 231–233. ISBN 978-0-471-56952-7.