ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับศักยะขั้นบันได

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก ศักย์แบบขั้นบันได)
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีการกระเจิง ศักย์แบบขั้นบันได (อังกฤษ: step potential) แบบ 1 มิติ เป็นระบบในอุดมคติที่ใช้ในการอธิบายคลื่นอนุภาคที่มีการตกกระทบ การสะท้อน และการทะลุผ่าน ในหัวข้อนี้ จะใช้สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์ แบบ 1 มิติ

การคำนวณ[แก้]

สมการชเรอดิงเงอร์และฟังก์ชันของศักย์[แก้]

Scattering at a finite potential step of height V0, shown in green. The amplitudes and direction of left and right moving waves are indicated. Yellow is the incident wave, blue are reflected and transmitted, red does not occur. E > V0 for this figure.

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่น  คือ

โดยที่

H คือ ฮามิลโทเนียน

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

m คือ มวล

E คือ พลังงานของอนุภาค

ศักย์แบบขั้นบันได มีสมการเป็น

โดยสิ่งกีดขวางจะอยู่ที่ตำแหน่ง x = 0 ศักย์แบบขั้นบันได จะแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วน คือ x < 0 และ x > 0 ซึ่งทั้ง 2 ส่วนนี้จะมีศักย์เป็นค่าคงที่

การแก้ปัญหาสมการชเรอดิงเงอร์สามารถเขียนเป็นการซ้อนทับ (Superposition) ของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและทางขวา โดยที่

,

ซึ่งทั้ง 2 สมการมีรูปแบบเดียวกับความสัมพันธ์ของเดอบรอย์

เงื่อนไขขอบเขต[แก้]

ฟังก์ชันคลื่นในทั้งสองบริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ที่บริเวณรอยต่อ x = 0 ดังสมการ

,

วิเคราะห์ผลการคำนวณ[แก้]

ให้อนุภาคแต่ละตัวมีพลังงาน  ตกลงบนศักย์จากด้านซ้านมือของศักย์แบบขั้น โดยแบ่งพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้

เมื่อ E < V0[แก้]

ในกรณีนี้ตามกลศาสตร์ดั้งเดิม อนุภาคจะผ่านศักย์แบบขั้นไปได้เสมอ แต่สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมจะมีโอกาสข้ามศักย์แบบขั้นได้จำกัด บางครั้งอนุภาคจะสะท้อนกลับ จะพบว่าในบริเวณ x < 0 จะมีทั้งคลื่นที่ตกกระทบและคลื่นสะท้อน ส่วนในบริเวณ x > 0 จะมีแต่คลื่นที่ทะลุผ่านอย่างเดียว โดยมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านและการสะท้อน ดังนี้

เมื่อ E > V0[แก้]

ฟังก์ชันคลื่นในบริเวณ x < 0 ยังมีลักษณะเหมือนเดิม ส่วนบริเวณ x > 0 มีความน่าจะเป็นของการพบอนุภาคอยู่บ้าง ซึ่งตามกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่มีโอกาสพบอนุภาคเลย

อ้างอิง[แก้]

http://www.rmutphysics.com/charud/oldnews/206/index206.htm