เส้นรอบวง

เส้นรอบวง = π × เส้นผ่านศูนย์กลาง

เส้นรอบวง หมายถึงระยะทางหรือความยาวรอบเส้นโค้งปิด โดยปกติจะหมายถึงรูปวงกลมหรือรูปวงรี เส้นรอบวงเป็นเส้นรอบรูป (perimeter) ประเภทหนึ่ง

รูปวงกลม

เส้นรอบวง c ของรูปวงกลม สามารถคำนวณได้จากเส้นผ่านศูนย์กลาง d โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$c=\pi d\,\!$

หรือคำนวณจากรัศมี r ของรูปวงกลม

$c=2\pi r\,\!$

เมื่อ π คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งมีค่าประมาณ 3.141 592 653 589 793...

สูตรการหาความยาวของเส้นรอบวง สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ความรู้ทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และไม่ใช้การอ้างถึงค่า π ดังที่จะแสดงต่อไปนี้

ครึ่งหนึ่งด้านบนของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือกราฟของฟังก์ชัน

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

ซึ่ง x สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ −r ถึง +r เส้นรอบวงของรูปวงกลมทั้งหมดจึงสามารถแทนได้ด้วยผลรวมสองเท่าของความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ประกอบกันเป็นครึ่งวงกลม ความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ นั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็น $dx$ และ $f'(x)dx$ เราจะได้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น

${\sqrt {(dx)^{2}+(f'(x)dx)^{2}}}=\left({\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\right)dx$

ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบวงจึงคำนวณได้จาก

${\begin{aligned}c&=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}dx=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {x}{r}}^{2}}}}dx=2r\int _{-1}^{1}{\sqrt {\frac {1}{1-x^{2}}}}dx\\&=2r{\big [}\arcsin {(1)}-\arcsin {(-1)}{\big ]}=2r({\tfrac {\pi }{2}}-(-{\tfrac {\pi }{2}}))=2\pi r\end{aligned}}$

รูปวงรี

การคำนวณเส้นรอบวงของวงรี ซับซ้อนกว่าวงกลม และเป็นอนุกรมอนันต์ (infinite series) อาจประมาณได้จากสูตรของ รามานุจัน (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย)

$c\approx \pi (3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}})$

เมื่อ $a$ และ $b$ คือ กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท ตามลำดับ สองค่านี้มีความสัมพันธ์กันกับความเยื้องศูนย์กลางของวงรี ดังต่อไปนี้

$b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$

ซึ่งแสดงว่าสามารถเขียนสูตรคำนวณเส้นรอบวงของวงรีได้ดังนี้

$c\approx \pi a(3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}})=\pi a(3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {3(2-e^{2})+10{\sqrt {1-e^{2}}}}})$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Numericana - Circumference of an ellipse