รากที่ n

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ รูต

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ n ของจำนวน x คือจำนวน r ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง n แล้วจะเท่ากับ x นั่นคือ

$r^{n}=x\,$

ตัวแปร n คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นดีกรีของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี n จะเรียกว่ารากที่ n เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่ารากที่สอง รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น

• 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 2² = 4
• −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)² = 4

รากที่ n ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้ ${\sqrt {\,\,}}$ โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ x เขียนแทนด้วย ${\sqrt {x}}$ รากที่สามเขียนแทนด้วย ${\sqrt[{3}]{x}}$ รากที่สี่เขียนแทนด้วย ${\sqrt[{4}]{x}}$ เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญ (principal n-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่าเสิร์ด (surd) หรือราก (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่ารูต (root)

ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้

${\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{(1/n)}$

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ n อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

ประวัติ

ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) ${\sqrt {\,\,}}$ นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์, เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว r, ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า radix ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม. ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ Die Coss โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน.

คุณสมบัติทั่วไป

1. ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
2. ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อยๆ อย่างเช่น ${\sqrt {2}}=1.414213562373095048...$ จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
3. ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$
4. ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
5. ${\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}={\sqrt[{n-1}]{a}}$
6. ${\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {+...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a+1}}}{2}}$
7. ${\sqrt {a+{\sqrt {a-{\sqrt {a+{\sqrt {-...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a-3}}}{2}}$
8. ${\sqrt {a}}^{2}\neq$ $\pm \left|a\right|$ เมื่อ $a<0$

ปฏิบัติการมูลฐาน

• การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad ;a\geq 0,b\geq 0$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad ;a\geq 0,b>0$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$ ; a > 0, b > 0

• ขณะที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนบวก.

และทุกๆ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ , จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง bⁿ = a, ดังนั้นการใช้ ${\sqrt[{n}]{a}}$ จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้. รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง.

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้, โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$

$(a^{m})^{n}=a^{mn}\,$

ตัวอย่าง:

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{\frac {25+12}{15}}=a^{\frac {37}{15}}$

${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt[{4}]{a}}}=a^{\frac {1}{2}}a^{\frac {-1}{4}}=a^{\frac {4-2}{8}}=a^{\frac {2}{8}}=a^{\frac {1}{4}}$

• การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}$

$={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}$

$=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

$=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}$