เศษส่วน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เค้กถูกตัดออกไปหนึ่งในสี่ส่วน เหลือเพียงสามในสี่ส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น 3/4 อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้ (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์)

เศษส่วนเป็นตัวอย่างชนิดหนึ่งของอัตราส่วน ซึ่งเศษส่วนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชิ้นส่วนย่อยต่อชิ้นส่วนทั้งหมด ในขณะที่อัตราส่วนพิจารณาจากปริมาณของสองวัตถุที่แตกต่างกัน (ดังนั้น 3/4 อาจไม่เท่ากับ 3 : 4) และเศษส่วนนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นผลหาร (quotient) ของจำนวน ซึ่งปริมาณที่แท้จริงสามารถคำนวณได้จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ตัวอย่างเช่น 3/4 คือการหารสามด้วยสี่ ได้ปริมาณเท่ากับ 0.75 ในทศนิยม หรือ 75% ในอัตราร้อยละ

การเขียนเศษส่วน ให้เขียนแยกออกจากกันด้วยเครื่องหมายทับหรือ ซอลิดัส (solidus) แล้ววางตัวเศษกับตัวส่วนในแนวเฉียง เช่น ¾ หรือคั่นด้วยเส้นแบ่งตามแนวนอนเรียกว่า วิงคิวลัม (vinculum) เช่น 3/4 ในบางกรณีอาจพบเศษส่วนที่ไม่มีเครื่องหมายคั่น อาทิ 34 บนป้ายจราจรในบางประเทศ

รูปแบบของเศษส่วน[แก้]

เศษส่วนสามัญ เศษส่วนแท้ และเศษเกิน[แก้]

เศษส่วนสามัญ (vulgar/common fraction) คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนอยู่ในรูป a/b หรือ a/b โดยที่ a และ b ซึ่งเรียกว่า ตัวเศษ และ ตัวส่วน ตามลำดับ เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่[1] ตัวเศษแสดงแทนจำนวนของส่วนแบ่ง และตัวส่วนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์แสดงแทนการแบ่งส่วนจากทั้งมวล เช่น 1/3, 3/4, 4/3 เป็นต้น สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่เป็นจำนวนเต็ม อาจไม่เป็นจำนวนตรรกยะ นอกจากนั้นเศษส่วนสามัญยังแยกออกเป็นเศษส่วนแท้ (proper fraction) ซึ่งมีค่าของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ทำให้ปริมาณของเศษส่วนน้อยกว่า 1 เช่น 7/9 และเศษเกิน (improper fraction) คือเศษส่วนที่ค่าของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น 5/5, 9/7

จำนวนคละ[แก้]

จำนวนคละ (mixed number) เป็นการนำเสนอเศษส่วนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยนำจำนวนเต็มประกอบเข้ากับเศษส่วนแท้ และมีปริมาณเท่ากับสองจำนวนนั้นบวกกัน ตัวอย่างเช่น คุณมีเค้กเต็มถาดสองชิ้น และมีเค้กที่เหลืออยู่อีกสามในสี่ส่วน คุณสามารถเขียนแทนได้ด้วย 2 3/4 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 + 3/4 จำนวนคละสามารถแปลงไปเป็นเศษเกินและสามารถแปลงกลับได้ตามขั้นตอนดังนี้

การแปลงจำนวนคละไปเป็นเศษเกิน (2 3/4)

  1. คูณจำนวนเต็มเข้ากับตัวส่วนของเศษส่วนแท้ (2 × 4 = 8)
  2. บวกผลคูณในขั้นแรกด้วยตัวเศษ (8 + 3 = 11)
  3. นำผลบวกเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนใหม่เป็นเศษเกิน (11/4)

การแปลงเศษเกินไปเป็นจำนวนคละ (11/4)

  1. หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ให้เหลือเศษเอาไว้ (11 ÷ 4 = 2 เศษ 3)
  2. นำผลหารที่ไม่เอาเศษไปเป็นจำนวนเต็ม (2_)
  3. นำเศษจากการหารเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนเศษส่วนต่อท้ายจำนวนเต็ม (2 3/4)

เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน[แก้]

2/3 เทียบเท่ากับ 4/6

เศษส่วนที่เทียบเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่ง สามารถหาได้จากการคูณหรือการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) เนื่องจากจำนวน n ที่คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน คือเศษส่วน n/n ที่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นปริมาณของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น กำหนดเศษส่วน 1/2 เมื่อคูณด้วย 2 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะได้ผลลัพธ์เป็น 2/4 ซึ่งยังคงมีปริมาณเท่ากับ 1/2 จึงกล่าวได้ว่า 2/4 เทียบเท่ากับ 1/2 เมื่อลองจินตนาการจะพบว่าสองในสี่ส่วนของเค้กหนึ่งก้อน ไม่แตกต่างจากการแบ่งเค้กครึ่งก้อน

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ซึ่งจะไม่ใช้ 0 เป็นตัวหาร) เป็นการตัดทอนหรือการลดรูปเศษส่วนให้มีตัวเลขน้อยลง สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1 กล่าวคือไม่มีตัวเลขอื่นนอกจาก 1 ที่สามารถหารแล้วได้เศษส่วนสามัญ เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ ตัวอย่างเช่น 3/8 เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเพราะมีตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1 ในทางตรงข้าม 3/9 ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเนื่องจากยังสามารถหารด้วย 3 ได้อีกเป็น 1/3

นอกจากนั้นการเปรียบเทียบปริมาณของเศษส่วน หากไม่สามารถจินตนาการหรือวาดรูปได้ จำเป็นต้องสร้างเศษส่วนที่เทียบเท่าขึ้นมาใหม่โดยให้มีตัวส่วนเท่ากันก่อนจึงจะสามารถเปรียบเทียบได้ ซึ่งตัวส่วนดังกล่าวสามารถคำนวณได้จากการคูณตัวส่วนทั้งสอง หรือจากตัวคูณร่วมน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบระหว่าง 3/4 กับ 11/18 ตัวส่วนสำหรับการเปรียบเทียบคือ ครน. ของ 4 กับ 18 มีค่าเท่ากับ 36 ดังนั้นจะได้เศษส่วนที่เทียบเท่าได้แก่ 27/36 กับ 22/36 ตามลำดับ ทำให้ทราบได้ว่า 3/4 มีปริมาณมากกว่า 11/18

เศษส่วนซ้อน[แก้]

เศษส่วนซ้อน หรือ เศษซ้อน (complex/compound fraction) คือเศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นเศษส่วนอื่น ตัวอย่างเช่น \tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3} เป็นเศษส่วนซ้อน ในการลดรูปเศษส่วนซ้อนสามารถทำได้โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เหมือนการหารธรรมดา ดังนั้น \tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3} จะมีค่าเท่ากับ 1/2 ÷ 1/3 = 3/2 นอกจากนั้นตัวเศษหรือตัวส่วนสามารถเป็นนิพจน์ของเศษส่วนอื่นต่อๆ กันไปได้ อย่างเช่นเศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction)

ส่วนกลับและตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ[แก้]

ส่วนกลับของเศษส่วน (reciprocal/inverse) หมายถึงเศษส่วนอีกจำนวนหนึ่งที่มีตัวเศษและตัวส่วนสลับกัน เช่น ส่วนกลับของ 3/7 คือ 7/3 และเนื่องจากจำนวนใดๆ หารด้วย 1 จะได้จำนวนเดิม ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น 17 เขียนให้เป็นเศษส่วนได้เป็น 17/1 ตัวเลข 1 นี้คือตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ ดังนั้นจึงสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนและจำนวนทุกจำนวน (ยกเว้น 0) สามารถมีส่วนกลับได้เสมอ จากตัวอย่าง ส่วนกลับของ 17 คือ 1/17

เลขคณิตของเศษส่วน[แก้]

การเปรียบเทียบค่า[แก้]

สำหรับการเปรียบเทียบค่าของเศษส่วนนั้น หากตัวส่วนเท่ากันสามารถนำตัวเศษมาเปรียบเทียบกันได้เลย

\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4} เพราะ 3 > 2

วิธีหนึ่งที่จะเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากันคือการหาตัวส่วนร่วม ในการเปรียบเทียบ \tfrac{a}{b} กับ \tfrac{c}{d} ให้แปลงทั้งสองเป็น \tfrac{ad}{bd} และ \tfrac{bc}{bd} เมื่อได้ว่า bd เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ตัวเศษ ac และ bc ก็สามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้

ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบระหว่าง \tfrac{2}{3} กับ \tfrac{1}{2} ให้แปลงเป็น \tfrac{4}{6} กับ \tfrac{3}{6} ซึ่งสามารถเปรียบเทียบกันได้

อีกกรณีหนึ่งที่เศษส่วนทั้งสองมีตัวเศษเท่ากัน เศษส่วนตัวที่มีตัวส่วนมากกว่าจะมีค่าน้อยกว่าตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่า

การบวกลบคูณหาร[แก้]

เศษส่วนสามารถบวกลบคูณหารได้ และมีสมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การกระจาย รวมทั้งข้อยกเว้นของการหารด้วยศูนย์ เหมือนจำนวนทั่วไป

การบวกและการลบเศษส่วน แบ่งเป็นสองกรณีคือ กรณีที่ตัวส่วนเท่ากันและกรณีตัวส่วนไม่เท่ากัน สำหรับกรณีที่ตัวส่วนเท่ากัน เราสามารถนำตัวเศษมาบวกหรือลบกันได้ทันที และได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่ยังคงมีตัวส่วนคงเดิม เช่น

\tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{4}
\tfrac{5}{8} - \tfrac{3}{8} = \tfrac{2}{8}

ส่วนกรณีที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน จำเป็นต้องหาเศษส่วนเทียบเท่าที่มีตัวส่วนที่เท่ากันก่อน จากการหาผลคูณหรือตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนทั้งหมด เมื่อตัวส่วนเท่ากันแล้วจึงนำตัวเศษของเศษส่วนที่เทียบเท่ามาบวกหรือลบกันตามปกติ ตัวอย่างเช่น

\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{9}{12} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{14}{12}

การคูณเศษส่วนสามารถทำได้ง่าย โดยการนำตัวเศษคูณตัวเศษ ตัวส่วนคูณตัวส่วน ได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเศษส่วนที่เกิดจากผลคูณทั้งสอง อาทิ

\tfrac{5}{6} \times \tfrac{7}{8} = \tfrac{35}{48}

สำหรับการหารเศษส่วน ให้ทำตัวหารเป็นส่วนกลับแล้วทำการคูณแทนที่จะเป็นการหาร ดังตัวอย่าง

\tfrac{2}{3} \div \tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{3} \times \tfrac{5}{2} = \tfrac{10}{6}

อักขระยูนิโคด[แก้]

โคดพอยต์ อักขระ ความหมาย
U+00BC ¼ เศษหนึ่งส่วนสี่
U+00BD ½ เศษหนึ่งส่วนสอง
U+00BE ¾ เศษสามส่วนสี่
U+2044 ซอลิดัส* (เส้นคั่น)
U+2153 เศษหนึ่งส่วนสาม
U+2154 เศษสองส่วนสาม
โคดพอยต์ อักขระ ความหมาย
U+2155 เศษหนึ่งส่วนห้า
U+2156 เศษสองส่วนห้า
U+2157 เศษสามส่วนห้า
U+2158 เศษสี่ส่วนห้า
U+2159 เศษหนึ่งส่วนหก
U+215A เศษห้าส่วนหก
โคดพอยต์ อักขระ ความหมาย
U+215B เศษหนึ่งส่วนแปด
U+215C เศษสามส่วนแปด
U+215D เศษห้าส่วนแปด
U+215E เศษเจ็ดส่วนแปด
U+215F เศษหนึ่งส่วน...
* สำหรับการแก้ไขข้อความที่สามารถจัดรูปแบบได้ ซอลิดัสสามารถใช้คู่กับตัวเลขที่เป็นตัวยก (superscript) และตัวห้อย (subscript) เช่น ⁸⁄₉ ส่วนข้อความธรรมดานิยมใช้เครื่องหมายทับ (/) แทน เช่น 8/9

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]