รากที่สาม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
กราฟของสมการ

ในำนวน x คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้ว นำผลลัพธ์ไปคูณตัวมันเองอีกครั้ง จะได้ค่า x ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะว่า 2 × 2 × 2= 8 โดยทั่วไปแล้วจำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะมีรากที่สามอยู่ 3 จำนวน คือ จำนวนจริง 1 จำนวน และ จำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนซึ่งเป็นสังยุคกัน ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ

การดำเนินการหารากที่สามเป็นการเปลี่ยนหมู่กับ การชี้กำลัง และเป็นการแจกแจงกับการคูณ และการหาร แต่นี่ไม่ได้เปลี่ยนหมู่หรือแจกแจงกับการบวก หรือ การลบแต่อย่างใด

นิยาม[แก้]

รากที่สามของจำนวน x และ y ที่เป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้

สมบัติ[แก้]

จำนวนจริง[แก้]

สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนจริง y เพียงหนึ่งจำนวนเสมอ ที่ y3 = x เนื่องจากฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่ให้ค่าซ้ำจากจำนวนที่ต่างกัน และยังเป็นฟังก์ชันที่เรนจ์ครอบคลุมเซตของจำนวนจริง นั่นคือฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และมีฟังก์ชันผกผันที่หนึ่งต่อหนึ่งเช่นเดียวกัน จากนิยาม จำนวนจริงบวกจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงบวก และจำนวนจริงลบจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงลบ

หากอนุญาตให้ y เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ จะพบว่าสมการ y3 = x มี 3 คำตอบที่ต่างกันเสมอ (เว้นแต่กรณี x = 0 ซึ่งให้ y = 0 ค่าเดียว) โดยค่าหนึ่งเป็นจำนวนจริงดังกล่าวมาแล้ว อีกสองค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นสังยุคกันเสมอ เช่น รากที่สามของ 1 ได้แก่:

รากที่สามของ 1 เหล่านี้แสดงความสัมพันธ์ของรากที่สามทั้งสามตัวของจำนวนจริงใด ๆ โดยหากมีจำนวนหนึ่งเป็นรากที่สามของอีกจำนวนหนึ่งแล้ว รากที่สามที่เหลือทั้งสองตัวสามารถหาได้จากการนำรากตัวแรกไปคูณกับรากที่สามของ 1 ที่เป็นเชิงซ้อนแต่ละตัว

จำนวนเชิงซ้อน[แก้]

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน x ใด ๆ เราสามารถเขียน

โดยที่ r เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบและ

ซึ่งจะได้ว่า

โดยปกติแล้วปกติจะนิยามรากที่สามมุขสำคัญ เป็นรากตัวที่มีส่วนจริงมากที่สุด หรือทียบเท่ากับการมีค่าสัมบูรณ์ของอาร์กิวเมนต์ต่ำสุด ซึ่งตามด้านบนจะเป็นรากที่สามตัวบนสุด

ค่านี้สัมพันธ์กับค่ามุขสำคัญของลอการิทึมตามสมการ

ควรสังเกตว่า โดยนิยามนี้ รากที่สามของจำนวนจริงลบ จะมีค่ามุขสำคัญเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่น ค่ามุขสำคัญของ 3√−8 เป็น 1 + i√3 ไม่ใช่ - 2