เลขฐานสิบ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ระบบเลขตามพัฒนาการ
เลขฮินดู-อารบิก
อารบิกตะวันตก
อารบิกตะวันออก
เขมร
มอญ
อินเดีย
พราหฺมี
ไทย
 
เลขเอเชียตะวันออก
จีน
ญี่ปุ่น
เกาหลี
 
เลขตัวอักษร
แอ็บยัด
อาร์เมเนีย
ซีริลลิก
กีเอส
ฮีบรู
ไอโอเนียน/กรีก
สันสกฤต
 
ระบบอื่นๆ
แอตติก
อีทรัสคัน
โรมัน
บาบิโลเนีย
อียิปต์
มายา
รายชื่อระบบเลข
ระบบเลขตามฐาน
เลขฐานสิบ (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
3, 9, 12, 24, 30, 36, 60, อื่น...
    

เลขฐานสิบ หรือ ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลข 10 ตัว คือ 0 - 9

สัญลักษณ์แทนเลขฐานสิบ[แก้]

การเขียนจำนวนในรูปทศนิยมคือการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ ซึ่งมีสัญลักษณ์อยู่ 10 ตัว (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9) และอาจมีการใช้ร่วมกับจุดทศนิยม สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และใช้สัญลักษณ์ + และ − เพื่อบอกค่าบวกและค่าลบ

เลขฐานสิบนี้เป็นเลขฐานปกติที่คนทั่วไปใช้ เนื่องจากมนุษย์มีสิบนิ้ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในอดีตก็มีผู้ที่ใช้เลขฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ชาวไนจีเรียใช้เลขฐานสิบสอง และชาวบาบิโลเนียนใช้เลขฐานหกสิบ และชาวเผ่ายูกิใช้เลขฐานแปด

สัญลักษณ์แทนเลขแต่ละหลักนั้น โดยทั่วไปจะใช้เลขอารบิก และเลขอินเดีย ซึ่งมาจากระบบเดียวกัน แต่มีรูปแบบการใช้ที่แตกต่างกัน

การเขียนจำนวนจริงในรูปทศนิยม[แก้]

เศษส่วนและทศนิยม[แก้]

เลขทศนิยม[แก้]

การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม ทำได้โดยให้ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ

การเขียนทศนิยมนั้นไม่จำเป็นต้องเขียนตัวส่วนเหมือนเศษส่วน แต่ใช้เครื่องหมายจุดทศนิยม (อาจต้องเพิ่ม 0 ด้านหน้า ถ้าจำเป็น) และตำแหน่งของตัวเลขจะเกี่ยวข้องกับส่วน ที่เป็นกำลังของสิบ เช่น \frac{8}{10}, \frac{833}{100}, \frac{83}{1000}, \frac{8}{10000}และ \frac{80}{10000} สามารถเขียนได้เป็น 0.8, 8.33, 0.083, 0.0008 และ 0.008 ตามลำดับ

จำนวนที่เขียนได้ในลักษณะนี้ เป็น เลขทศนิยม

ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน จะถูกแยกกันด้วยเครื่องหมายจุดทศนิยม ซึ่งเราใช้เครื่องหมาย มหัพภาค (.) แทนจุดทศนิยม ถ้าจำนวนนั้นเป็นเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง เราจำเป็นต้องใส่ 0 นำหน้า (กล่าวคือ เรานิยมเขียน 0.5 มากกว่า .5) เลขศูนย์ตามท้ายทศนิยมถือว่าไม่จำเป็นในทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ 0.080 และ 0.08 มีความหมายเหมือนกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ในทางวิศวกรรม 0.080 บอกว่า อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในพัน แต่ 0.08 อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในร้อย

การเขียนเลขอื่นๆ ในรูปทศนิยม[แก้]

จำนวนอื่นๆ ที่ไม่อาจเขียนได้อยู่ในรูปทศนิยมที่มีจุดสิ้นสุด เราจะเขียนจำนวนเหล่านี้ได้ในรูปทศนิยมซ้ำ

เนื่องจาก 10 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะจำนวนแรกและจำนวนที่สาม (นั่นคือ 2 และ 5) ซึ่งมากกว่ากำลังสองของจำนวนเฉพาะจำนวนที่สองอยู่หนึ่ง (กำลังสองของ 3 คือ 9 และน้อยกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนที่ห้าอยู่หนึ่ง (11) ทำให้มีรูปแบบของทศนิยมบางรูปแบบ ดังนี้

\frac{1}{3} = 0.333333\cdots (3 ซ้ำ)
\frac{1}{4} = 0.25
\frac{1}{5} = 0.2
\frac{1}{6} = 0.166666\cdots (6 ซ้ำ)
\frac{1}{8} = 0.125
\frac{1}{9} = 0.111111\cdots (1 ซ้ำ)
\frac{1}{10} = 0.1
\frac{1}{11} = 0.090909\cdots (09 ซ้ำ)
\frac{1}{12} = 0.083333\cdots (3 ซ้ำ)
\frac{1}{81} = 0.012345679012\cdots (012345679 ซ้ำ)

สำหรับจำนวนที่มีจำนวนเฉพาะอื่นๆ เป็นตัวส่วนนั้นจะทำให้มีรูปแบบที่ซ้ำยาวขึ้น เช่น 7 และ 13

การหาชุดของทศนิยมซ้ำนั้นทำได้โดยการตั้งหารยาว เราจะมีเศษไม่ใช่ศูนย์เพียง q-1 แบบเท่านั้นจากการหารด้วย q ดังนั้น ช่วงของทศนิยมซ้ำจะยาวไม่เกิน q-1 อย่างแน่นอน ลองดูตัวอย่างของการหา 3/7 ในรูปทศนิยม

          0.4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 
     2 8                         \frac{30}{7} = 4 เศษ 2
       2 0
       1 4                       \frac{20}{7} = 2 เศษ 6
         6 0
         5 6                     \frac{60}{7} = 8 เศษ 4
           4 0
           3 5                   \frac{40}{7} = 5 เศษ 6
             5 0
             4 9                 \frac{50}{7} = 7 เศษ 1
               1 0
                 7               \frac{10}{7} = 1 เศษ 3
                 3 0
                 2 8             \frac{30}{7} = 4 เศษ 2  (ซ้ำ)
                   2 0
                        ฯลฯ

ในทางตรงกันข้าม เราสามารถเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน \frac{p}{q} ได้ โดยใช้รูปแบบทางเรขาคณิต เพื่อหาผลรวมของชุดทศนิยม เช่น

0.0123123123\cdots = \frac{123}{10000} \sum_{k=0}^\infty 0.001^k = \frac{123}{10000}\ \frac{1}{1-0.001} = \frac{123}{9990} = \frac{41}{3330}

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]