เวกเตอร์สี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา \left(t,x,y,z\right)

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ 4\times 4

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ[แก้]

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

 \mathsf{x}:=\left(x^\mu\right)=\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right)=\left(ct, x, y, z \right)

สำหรับ \left.\mu=0,1,2,3\right. เมื่อ \left.c\right. เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ \mathsf{x} กับ \mathsf{y} ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

\mathsf{x}\cdot\mathsf{y} \equiv x^\mu\eta_{\mu\nu}y^\nu
= \left( \begin{matrix}x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}y^0 \\ y^1 \\ y^2 \\ y^3 \end{matrix} \right)
= \left.- x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3\right.

เมื่อ \left.\eta\right. เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์[แก้]

\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}

เมื่อ \left.\gamma\right. คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

\mathsf{U} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{x}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{x} = \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)

หรือ

\left(U^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(x^\mu\right)= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma c, \gamma u^i \right)

เมื่อ

u^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}

สำหรับ \left.i=1,2,3\right. สังเกตว่า

 \mathsf{U}\cdot\mathsf{U} := U^\mu U_\mu = -c^2

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

\mathsf{A} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{U}= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\mathsf{x} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)

หรือ

\left(A^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(U^\mu\right) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma}u^i + \gamma^2\dot{u}^i \right)

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ \mathsf{A}\perp\mathsf{U}

\mathsf{A}\cdot\mathsf{U} := A^\mu U_\mu = 0

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

\mathsf{P} := m\mathsf{U} = \left(\gamma mc,  \gamma m\mathbf{u}\right)= \left(\gamma mc, \mathbf{p}\right)

หรือ

\left(P^\mu\right) := m\left(U^\mu\right) = \left(\gamma mc,  \gamma mu^i\right) = \left(\gamma mc,  p^i\right)

เมื่อ \left.m\right. คือมวลของอนุภาค และ \mathbf{p}=\gamma m\mathbf{u} คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

\mathsf{F} := \frac{\mathrm{d}\mathsf{P}}{\mathrm{d}\tau} = m\mathsf{A} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma\mathbf{f} \right)

หรือ


 \left(F^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(P^\mu\right) = m\left(A^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right)

เมื่อ

 \mathbf{f} \equiv m\dot{\gamma}\mathbf{u} + m\gamma\mathbf{\dot{u}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{u}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc2[แก้]

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

 \frac{dK}{dt}= \mathbf{f} \cdot \mathbf{u}

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า[แก้]

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

 \mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) \mathbf{j} และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) \left.\rho\right.

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

 \mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) \mathbf{A} และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) \varphi

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

\mathsf{N} := \left(N^\mu\right) =\left(\nu, \nu \hat{\mathbf{n}}\right)

เมื่อ \left.\nu\right. เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ \hat{\mathbf{n}} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า

\mathsf{N}\cdot\mathsf{N} :=  N^\mu N_\mu = \nu^2\left(n^2-1\right) = 0

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector


อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]