เวกเตอร์สี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ[แก้]

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

สำหรับ เมื่อ เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ กับ ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

เมื่อ เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์[แก้]

เมื่อ คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

หรือ

เมื่อ

สำหรับ สังเกตว่า

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

หรือ

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

หรือ

เมื่อ คือมวลของอนุภาค และ คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

หรือ


เมื่อ

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc2[แก้]

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า[แก้]

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) และ ความหนาแน่นประจุ (charge density)

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential)

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

เมื่อ เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector


อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]