เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น

การจัดเรียงสมาชิกของเมทริกซ์

นิยาม[แก้]

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี แถว และ หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ เราเรียกจำนวน และ ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญญลักษณ์ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ ซึ่งมี แถว และ หลัก โดยที่ (หรือ ) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว และ หลัก ของเมทริกซ์

การกระทำระหว่างเมทริกซ์[แก้]

การบวก[แก้]

ดูบทความหลักที่: การบวกเมทริกซ์

ให้ และ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก แล้ว ยกตัวอย่างเช่น

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์[แก้]

กำหนดเมทริกซ์ และจำนวน เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด ที่คำนวณโดยการนำ ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ กล่าวคือ หาก แล้ว ยกตัวอย่างเช่น

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ[แก้]

ถ้า และ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ เท่ากับจำนวนแถวของ แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ ว่าเป็นเมทริกซ์ โดยที่

กล่าวคือสมาชิกในแถว หลัก ของผลคูณ คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก ของ และสมาชิกของคอลัมน์ ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว ของ และให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก ของ แล้ว เราจะได้ว่า เมื่อ คือผลคูณจุดของ และ เช่น

ให้ และ
แล้ว

และ

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่: สำหรับเมทริกซ์ ขนาด , ขนาด , และ ขนาด ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
  • สมบัติการแจกแจงทางขวา: สำหรับเมทริกซ์ และ ขนาด และ ขนาด ใดๆ
  • สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: สำหรับเมทริกซ์ และ ขนาด และ ขนาด ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ ขนาด และ ขนาด ใดๆ

  • ถ้า แล้ว ผลคูณ ไม่มีนิยาม
  • แม้ แต่ถ้า แล้ว เป็นเมทริกซ์ขนาด ส่วน เป็นเมทริกซ์ขนาด ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
  • แม้ แต่ส่วนมากแล้ว มักจะมีค่าไม่เท่ากับ ยกตัวอย่างเช่น

เรากล่าวว่าเมทริกซ์ แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ ถ้า เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยน[แก้]

ดูบทความหลักที่: เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m×n คือ AT ขนาด n×m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์จัตุรัส[แก้]

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n= 1

เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

ส่งผ่านค่าไม่ได้ (ไม่ทราบฟังก์ชันนี้): {\displaystyle \mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 ให้เมทริกชจตุรัส,เชิ่งdet(A)=-1/2;det(B)=-1จงหาdet(AB)^-1} }

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ[แก้]

  • เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ หรือ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ หรือ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า
  • เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ

อ้างอิง[แก้]