การบวกเมทริกซ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การบวกเมทริกซ์ ในทางคณิตศาสตร์ เป็นการดำเนินการการบวกบนสองเมทริกซ์ โดยบวกสมาชิกที่สอดคล้องกันเข้าด้วยกันเป็นเมทริกซ์ใหม่

ผลบวกแยกสมาชิก[แก้]

การบวกเมทริกซ์โดยทั่วไปจะนิยามให้เมทริกซ์สองเมทริกซ์มีมิติเท่ากัน ผลบวกของเมทริกซ์ A และ B ที่มีมิติ m×n เขียนแทนด้วย A + B และได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเมทริกซ์ขนาด m×n ที่มีสมาชิกเป็นผลบวกบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น


\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 \\
1+7 & 0+5 \\
1+2 & 2+1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
8 & 5 \\
3 & 3
\end{bmatrix}

เรายังสามารถดำเนินการการลบบนเมทริกซ์สองเมทริกซ์ได้ ตราบใดที่ยังมีมิติเท่ากัน การลบเมทริกซ์เขียนแทนด้วย AB จะได้เมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นผลลบบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น


\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1-0 & 3-0 \\
1-7 & 0-5 \\
1-2 & 2-1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-6 & -5 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}

เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ศูนย์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้


\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}

ผลบวกโดยตรง[แก้]

การดำเนินการการบวกอีกอย่างหนึ่งซึ่งมีที่ใช้น้อยกว่า คือการบวกโดยตรง เราสามารถบวกเมทริกซ์ A มิติ m×n กับเมทริกซ์ B มิติ p×q ได้โดยไม่จำเป็นต้องมีมิติเท่ากัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ (m + p) × (n + q) ตามที่นิยามไว้ดังนี้


A \oplus B = 
\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} &0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots &b_{1q} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots &b_{pq}
\end{bmatrix}

ดังตัวอย่างต่อไปนี้


\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\oplus
\begin{bmatrix}
1 & 6 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

การบวกแบบนี้ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้เทียบกับข้างบน


\begin{bmatrix}
1 & 6 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\oplus
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 3 & 1
\end{bmatrix}

คุณสมบัติ[แก้]

  • A+B=B+A
  • A+(B+C)=(A+B)+C
  • (r+s)A=rA+sA
  • r(A+B)=rA+rB

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]