เมทริกซ์สมมาตรเสมือน

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตรเสมือน หรือ เมทริกซ์ปฏิสมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ

$A^{\mathrm {T} }=-A\,$

เราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรเสมือนได้อีกอย่างหนึ่งว่า

$a_{ij}=-a_{ji}\,$

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ในมิติ 3×3

${\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{bmatrix}}=(-1){\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}$

คุณสมบัติ

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตรเสมือน มีคุณสมบัติดังนี้

$\det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)\,$

ซึ่งหาก n เป็นจำนวนคี่ ดีเทอร์มิแนนต์จะกลายเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทของจาโคบี ซึ่งตั้งโดย คาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Carl Gustav Jacobi)

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์สมมาตร