ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์"
ล โรบอต: ลิงก์บทความคัดสรร cs:Matematický důkaz; ปรับแต่งให้อ่านง่าย |
|||
บรรทัด 6: | บรรทัด 6: | ||
== วิธีการพิสูจน์ == |
== วิธีการพิสูจน์ == |
||
=== การพิสูจน์ตรง=== |
=== การพิสูจน์ตรง === |
||
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า<ref>Cupillari, page 20.</ref> การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของ[[จำนวนเต็ม]][[ภาวะคู่หรือคี่ (คณิตศาสตร์)|คู่]]สองจำนวนเป็นจำนวนคู่ |
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า<ref>Cupillari, page 20.</ref> การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของ[[จำนวนเต็ม]][[ภาวะคู่หรือคี่ (คณิตศาสตร์)|คู่]]สองจำนวนเป็นจำนวนคู่ |
||
บรรทัด 32: | บรรทัด 32: | ||
== อ้างอิง == |
== อ้างอิง == |
||
{{Reflist}} |
{{Reflist}} |
||
{{Link FA|cs}} |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 16:42, 29 พฤษภาคม 2557
ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจากวิกิพีเดียภาษาไทยยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด |
ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย [1][2][3] เราจะเห้นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูตรนั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์ [4] (อังกฤษ: conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น
การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ (natural language) ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้ให้เกิดความกำกวม
วิธีการพิสูจน์
การพิสูจน์ตรง
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า[5] การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่
- พิจารณรจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใดๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ
การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง
การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การพิสูน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์"ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์"กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก"ขั้นฐาน"ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่นๆ เป็นอนันต์กรณี[6] เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่นๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ infinite descent Infinite descent สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ√2
การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำหนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:[7] ให้ N = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจำนวนนับ และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ n เป็นสมาชิกของ N ที่
- (i) P (1) เป็นจริง กล่าวคือ P (n) เป็นจริงสำหรับ n = 1
- (ii) P (n+1) เป็นจริงเมื่อ P (n) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ P (n) เป็นจริง แปลว่า P (n+1) ก็เป็นจริง
- แล้ว P (n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
เช้น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2n + 1 เป็นจำนวนคี่ :
- (i) สำหรับ n = 1 2n + 1 = 2 (1) + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP (1)เป็นจริง
- (ii) 2n + 1 สำหรับ n 2 (n+1) + 1 = (2n+1) + 2 ถ้า2n + 1เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n+1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก2กับจำนวนคี่ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP (n+1)เป็นจริงถ้าP (n)เป็นจริง
- ฉะนั้น 2n + 1เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า "proof by induction" หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า "proof by mathematical induction"[8]
อ้างอิง
- ↑ Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
- ↑ Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
- ↑ Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
- ↑ คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
- ↑ Cupillari, page 20.
- ↑ Cupillari, page 46.
- ↑ Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
- ↑ Proof by induction, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology