การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย[1][2][3] เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์[4] (อังกฤษ: conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น

การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ (natural language) ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

วิธีการพิสูจน์[แก้]

การพิสูจน์ตรง[แก้]

การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า[5] การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ

การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์[แก้]

ดูบทความหลักที่: การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณี[6] เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ √2

การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:[7] ให้ N = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจำนวนนับ และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ n เป็นสมาชิกของ N ที่

  • (i) P (1) เป็นจริง กล่าวคือ P (n) เป็นจริงสำหรับ n = 1
  • (ii) P (n+1) เป็นจริงเมื่อ P (n) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ P (n) เป็นจริง แปลว่า P (n+1) ก็เป็นจริง
  • แล้ว P (n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2n + 1 เป็นจำนวนคี่ :

(i) สำหรับ n = 1 2n + 1 = 2 (1)  + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP (1)เป็นจริง
(ii) 2n + 1 สำหรับ n 2 (n+1)  + 1 = (2n+1)  + 2 ถ้า2n + 1เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n+1)  + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก2กับจำนวนคี่ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP (n+1)เป็นจริงถ้าP (n)เป็นจริง
ฉะนั้น 2n + 1เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า "proof by induction" หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า "proof by mathematical induction"[8]

อ้างอิง[แก้]

  1. Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
  2. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
  3. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
  4. คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
  5. Cupillari, page 20.
  6. Cupillari, page 46.
  7. Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
  8. Proof by induction Archived 2012-02-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology