ผู้ใช้:Helloblank/กระบะทราย/6

ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด) เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่า ฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ สามารถใช้ได้กับทุกๆตัวในโดเมน หรือก็คือ ฟังก์ชันของประพจน์นั้นมีความสัมพันธ์กับสมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้นๆ ซึ่งเงื่อนไขที่ใช้ ต้องเป็นจริงกับสมาชิกทุกตัว (เนื่องจากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด)

การจะใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดนี้ จะใช้สัญลักษณ์การดำเนินการ A แบบกลับหัว (∀) เมื่อใช้กับค่าใดค่าหนึ่ง จะเรียกว่า มี...ทั้งหมด (ฟอร์ออล...) ("∀x", "∀(x)"หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดดๆ) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมดนี้ ต่างจากตัวบ่งปริมาณบางตัว (มี...บางตัว) ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้คือ U+2200 ∀ FOR ALL (HTML ∀ · ∀ ·)

พื้นฐาน

ให้

$2\cdot 0=0+0$และ $2\cdot 1=1+1$และ $2\cdot 2=2+2$ฯลฯ

ประโยคนี้ เป็นแบบการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์ เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี "ฯลฯ" ไม่สามารถเขียนแบบตรรกศาสตร์มาตรฐานได้ จากประโยคดังกล่าวข้างต้น อาจนิยามได้อีกทีว่า :

$\forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n=n+n$

ประโยคข้างต้น ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเข้ามาช่วย

จากรูปประโยคข้างต้น จะมีความแม่นยำกว่าอันที่หนึ่ง ในขณะที่ "ฯลฯ" มักจะรวมจำนวนธรรมชาติด้วย และไม่ได้บอกอะไรเพิ่ม ซึ่งจะมีความแม่นยำน้อย โดยตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดตัวนี้ จะเจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ

เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว เงื่อนไข "$2\cdot n=n+n$" จะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ หรือในทางตรงกันข้าม ก็คือ

$\forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n>2+n$

จะเป็นเท็จ ถ้า n ถูกแทนที่ด้วย 1 เงื่อนไขก็จะกลายเป็น $2\cdot 1>2+1$ ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งมาทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากเงื่อนไขข้างต้น ใช้กับจำนวนประกอบ จะกลายเป็นจริงทันที ซึ่งไม่ว่า n ใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ (ของจำนวนประกอบ) จะใช้ได้ทุกตัว อนึ่ง เอกภพสัมพัทธ์จะเป็นตัวจำกัดจำนวนสมาชิกที่จะใช้กับเงื่อนไขนั้นๆ จึงต้องใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาช่วย :

$\forall n\in \mathrm {composite\ number} \rightarrow 2\cdot n>2+n$

สมมูลกับ

$\forall n\in \mathbb {N} ,n\in \mathrm {composite} \rightarrow 2\cdot n>2+n$

เพิ่มเติม

ในตรรกศาสตร์แบบ First-Order Logic สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ $\forall$ (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

เช่น $P(n)$ คือ $2\cdot n>2+n$ และ $\mathbb {N}$ เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

$\forall n\!\in \!\mathbb {N} \rightarrow P(n)$

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นเท็จ):

$\forall n\!\in \!\mathbb {N} \rightarrow 2\cdot n>2+n$

เทียบได้กับ $Q(n)$ (n เป็นจำนวนประกอบ) แล้ว

$\forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}$

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นจริง)

เนื่องจาก "n เป็นจำนวนประกอบ" ก็ครอบคลุมถึงว่า n ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติไปแล้ว เราสามารถลดรูปได้ :

$\forall n\;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}$

$\forall n\in \mathrm {composite\ number} \rightarrow 2\cdot n>2+n$

หรืออาจใช้รูปแบบอื่นๆในการแทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เช่น:

$(n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)$

เว้นเสียแต่ว่าจะกำหนดให้ใช้เฉพาะ A กลับด้านเท่านั้น

สมบัติ

การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ $\neg$ อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นประพจน์ "x แต่งงานแล้ว" แล้วเอกภพสัมพัทธ์คือประโยคเปิดว่า x เป็นหนึ่งในมนุษย์ทุกคน ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ให้ x เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

จะได้ :

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้ เป็นเท็จอย่างแน่นอน ซึ่งเพื่อให้ประโยคนี้เป็นจริง ไม่ขัดต่อเงื่อนไข จะเพิ่มเข้าไปอีกว่า :

ให้ x ไม่เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

$\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

ประโยคดังกล่าว ไม่เป็นจริงต่อสมาชิกทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวซึ่งขัดกับประพจน์ที่ทำให้เป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ $\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$ จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนหรือยังไม่ได้แต่งงาน"

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

ซึ่งโดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เขียนได้ในรูป :

$\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

ซึ่งตัวตรงข้ามของประพจน์ "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน")

$\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

ตัวเชื่อมอื่นๆ

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

$P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))$

$P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))$

$P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))$

$P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))$

$P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

$P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))$

$P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))$

$P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))$

$P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))$

$P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

กฎอุดมคติ

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ตัวบ่งจำเพาะแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ P(c)$

เมื่อ c เป็นสมาชิกเจาะจงในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวบ่งทั่วไปแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ หาก c แทนตัวเจาะจง จะเขียนได้ในรูป :

$P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกเจาะจงโดยสิ้นเชิง หรือ หากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า :

หาก c ไม่ใช่ตัวเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะเป็นเพียงตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวของฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ

เซตว่าง

โดยปกติแล้ว รูปแบบ $\forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)$ นั้นจะเป็นจริงเสมอ หากไม่ขึ้นกับตัว P(x) : ดูที่ค่าความจริงว่าง

การปิดแบบทั้งหมด

การปิดแบบทั้งหมด ของตัว φ เป็นรูปแบบที่ไม่มีตัวแปรอิสระจากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใดๆ ใน φ ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

$P(y)\land \exists xQ(x,z)$

คือ

$\forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))$

จุดเชื่อม

ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านขวาของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต คล้ายกัน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นจุดเชื่อมด้านซ้าย

ให้ $X$ เป็นเซตใดๆ ${\mathcal {P}}X$ แทนพาวเวอร์เซต

สำหรับฟังก์ชัน $f:X\to Y$ ใดๆ ในระหว่างเซต $X$ และ $Y$ จะมีภาพผกผันฟังก์เตอร์ $f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X$ ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ใช้ซับเซตของโคโดเมนของ x คืนให้ซับเซตของโคโดเมนของตัวเอง จุดเชื่อมด้านซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว ($\exists _{f}$) ส่วนจุดเชื่อมด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว ($\forall _{f}$)

ซึ่ง $\exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$ เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต $S\subset X$ แจกแจงให้ซับเซต $\exists _{f}S\subset Y$ ซึ่งถูกแจกแจงโดย

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}$

เมื่อ $y$ อยู่ในอิมเมจของ $S$ ซึ่งอยู่ภายใต้ $f$ ในทำนองเดียงกัน หากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด $\forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$ เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต $S\subset X$ แจกแจงให้ซับเซต $\forall _{f}S\subset Y$ ซึ่งถูกแจกแจงโดย

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}$

เมื่อ $y$ เป็นพรีอิมเมจภายใต้ $f$ ซึ่งอยู่ใน $X$

ในรูปอีกตัวหนึ่งที่คล้ายกับตัวบ่งปริมาณที่ใช้ในตรรกศาสตร์การจัดลำดับ (First-Order Logic) ซึ่งเป็นตัวที่มีอยู่โดยการนำฟังก์ชัน f มาเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ${\displaystyle !:X\to 1}$ ดังนั้น ${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ เป็นเซตสมาชิกสองซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จ ซับเซต S เป็นซับเซตซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าของบูล $S(x)$ และ

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x)}$

จะเป็นจริง หาก $S$ ไม่ใช่เซตว่าง และ

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x)}$

จะเป็นเท็จ หาก $S$ ไม่ใช่ $X$

ตัวบ่งปริมาณยังถูกใช้ในเรื่อง Presheaf

ดูเพิ่ม

• รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
• ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)