การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา

ในทฤษฎีจำนวนนั้น การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา (อังกฤษ: General number field sieve: GNFS) เป็น วิธีการในการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่ (มีตัวประกอบ 100 ตัวขึ้นไป) ได้เร็วที่สุด มักจะใช้กับเลขที่มีจำนวนมากกว่า 110 บิท โดยนำไปใช้ในการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร (Public-key cryptography) ซึ่งเป็นขั้นตอนวิธีที่เหมาะสำหรับลายเซ็นดิจิทัลรวมทั้งการเข้ารหัสที่มีความปลอดภัย

การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา นั้นมีเป้าหมายเพื่ออธิบายความสัมพันธ์ของที่มา, ข้อมูล และทฤษฎี ให้ผู้อ่านที่มีความเข้าใจในด้านต่าง ๆ เข้าใจและได้ข้อสรุปตรงกันและร่วมกันยกระดับพื้นฐานของวิธีการนี้ให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นอีกด้วย

จะเห็นได้ว่า การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดานั้นมีความสำคัญอย่างมากในการรับส่งข้อความที่เป็นความลับ จึงเป็นสิ่งที่นักวิชาการให้ความสนใจ ไม่ว่าจะเป็นตัวขั้นตอนการทำงาน ผลลัพธ์จากหลากหลายขอบเขตของคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์, ทฤษฎีเลขพีชคณิต, สมการเชิงเส้น, ค่าจำนวนจริง และการวิเคราะห์เชิงซ้อน

การกรองตัวเลขในขอบเขต

ตั้งแต่ได้มีการเปิดตัว elliptic curve factorization method (ECM) ในปี ค.ศ. 1985 แล้วก็ไม่มีทฤษฎีใดที่จะกล่าวถึงขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบอีกเลย นอกจากขั้นตอนวิธีที่มีอยู่เดิม ซึ่งได้แก่ Multiple Polynomial Quadratic Sieve (MPQS) และวิธีนี้นับเป็นวิธีที่เร็วที่สุด ณ ขณะนั้น แต่ก็ไม่ได้เป็นที่ยอมรับแต่อย่างใด ต่อมาได้มีการพูดถึง การกรองตัวเลขในขอบเขต (Number Field Sieve) (NFS) กันมากขึ้น ว่าเป็นวิธีการแยกตัวประกอบที่ดีและเร็วกว่าขั้นตอนวิธีใด ๆ ที่เคยมีมา ขั้นตอนวิธีประเภทนี้ สามารถแยกตัวประกอบเลขจำนวนหนึ่งโดยใช้เวลาเพียงแค่ไม่กี่สัปดาห์ เมื่อเทียบกับ Multiple Polynomial Quadratic Sieve (MPQS) ซึ่งใช้เวลานับปี แต่จากการบอกเล่าของ Joe Buhler และ Carl Pomerance ที่กล่าวไว้ว่า ทฤษฎีการกรองตัวเลขในขอบเขตนั้นสามารถนำไปใช้ได้ดีกับเลขจำนวนเต็มทั่ว ๆ ไป

จากผลการวิจัยพบว่า รูปแบบของสมการที่เหมาะสม อยู่ในรูป $n=r^{e}\pm s$ โดยกำหนดให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนที่น้อยมาก ๆ และ $e$ เป็นจำนวนที่มีขนาดใหญ่มาก

$e(c+o(1))(logn)^{\frac {1}{3}}(loglogn)^{\frac {2}{3}}$

โดยที่ $c=2({\frac {2}{3}})^{\frac {2}{3}}$ ประมาณ 1.526 (เป็นเลขคงที่ ไม่ว่า $n$ จะเป็นเลขจำนวนเต็มใด ๆ)

วิธีนี้เป็นวิธีที่ดีกว่า Multiple polynomial quadratic sieve (MPQS) เป็นอย่างมาก

$e((1+o(1))(logn)^{\frac {1}{2}}(loglogn)^{\frac {1}{2}}$

วิธีนี้จะขึ้นอยู่กับจำนวนเต็ม $n$ ด้วย โดยทั่วไปวิธีนี้จะได้ผลที่ใกล้เคียงกับ Multiple polynomial quadratic sieve (MPQS) หรืออาจจะดีกว่าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ขั้นตอนการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา

กำหนดให้ $F$ คือ ตัวประกอบ ที่ถูกเลือก $U$ คือ เซต ของจำนวนเต็ม

ดังนั้น จะพบว่า ทุก ๆ $r_{i}$ ที่เป็นสมาชิกของ $U$ จะอยู่เหนือ $F$ และ $\Pi _{r_{i}}f({r_{i}})=y^{2}$ สำหรับ $Y$ บางตัวที่เป็นสมาชิกของ $Z$ เนื่องจากรูปแบบสมการพหุนามพิเศษ คือ

$\prod _{r_{i}}f({r_{i}})\equiv \prod _{r_{i}}({r_{i}^{2}-n})\equiv \prod _{r_{i}\in U}{r_{i}^{2}}\equiv (\prod _{r_{i}\in U}{r_{i}})^{2}({\hbox{ mod }}n)$

ขั้นตอนการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดาพัฒนามาจากพหุนามกำลังสองซึ่งมีความสามารถในการหาคำตอบสำหรับตัวเลขที่มี เลขชี้กำลัง จำนวนมากๆ

ตัวอย่างการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา

วิธีการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา เคยถูกใช้ในการหาตัวประกอบที่มีจำนวน 193 หลัก RSA₆₄₀ ขนาดใหญ่ ในเดือนพฤศจิกายน ปี ค.ศ. 2005 โดย F. Bahr, M. BOEHM, J. FRANKE,T. KLEINJUNG ซึ่งจะได้ว่า

RSA640=310741824049004372135075003588856793003734602284272754572016194882320644051808150455634682967172328678243791627283803341547107310
8501919548529007337724822783525742386454014691736602477652346609

=1634733645809253848443133883865090859841783670033092312181110852389333100104508151212118167511579·19008712816648221131268515739354139754
71896789968515493666638539088027103802104498957191261465571

โครงสร้างพื้นฐานของการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา

เราสามารถทำการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา ได้ในขั้นตอนต่อไปนี้

1. ทำการเลือกพหุนาม เวลาของขั้นตอนวิธีการนี้ต้องขึ้นอยู่กับคุณภาพของพหุนามที่เลือก ดังนั้นเราต้องเลือกอย่างระมัดระวังและเรากำหนดให้ค่าพหุนามที่เลือกเป็น $p_{1},p_{2}$ โดย $p_{1},p_{2}\in Z[x]$
2. ขั้นตอนการกรอง (sieving) : สร้างสัมพันธ์ (Lattice or Line Sieves) เส้นตะแกรง (Line Sieves) สำหรับการกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา เส้นจะมีความยาวมาก เราสามารถจัดการได้โดยการตั้งเวลา แต่การตั้งเวลานั้น จะใช้เวลาค่อนข้างนานสำหรับตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ
3. การลบสำเนาและการตัดแต่ง (Remove copies and Pruning) เมื่อเราได้ค่าของ $(a,b)$ มากพอแล้ว ก็จะนำค่าที่ได้ทั้งหมดมาใส่เป็นเมทริกซ์เพื่อที่จะทำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีขนาดใหญ่กว่า $F2$ แต่ก่อนที่เราจะเริ่มทำในแบบที่ได้กล่าวมาข้างต้นได้เราจะต้องทำ
   1. ลบสำเนา เนื่องจากขั้นตอนการสร้างสัมพันธ์เป็นการรวมกันของเส้นและเส้นตะแกรงเข้าด้วยกันหรือจากการผิดพลาดของผู้คำนวณทำให้มีค่า $(a,b)$ มากเกินไปการลบสำเนาสามารถทำได้โดยใช้ตารางแฮชเข้ามาช่วยและเรายังสามารถช่วยลดขนาดของตารางแฮชได้โดยใช้ฟังก์ชันแฮช
   2. การตัดแต่ง (Pruning) เราสามารถทำได้โดยการลดขนาดของเมทริกซ์ ได้โดย กำหนดค่าตจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันในแถวของ เมทริกซ์ ซึ่งเรียกว่า $A$ ดังนั้น

เราสามารถบอกได้ว่า $Av=0$ ซึ่งอ้างอิงจาก พีชคณิตเชิงเส้น ตามขั้นตอนดังนี้

1. ย้าย 0
2. ถ้าในแถว $i$ ใน $(i,j)$ เราสามารถย้าย $I$ ในแถวนั้น ๆ โดย ให้ $j=0$
3. การกรอง เพื่อเป็นการลดขนาดของเมทริกซ์ และลดจำนวนของหลักลง เราสามารถใช้ทฤษฎีของกราฟในการหาค่าการดำเนินงานของเมทริกซ์ที่ใช้เวลาน้อยที่สุด
4. การแก้สมการเชิงเส้น

หลังจากการลดสมการแล้ว ก็มาถึงการแก้สมการเชิงเส้นที่มีจำนวนมาก ๆ โดยทั่วไปแล้ว ขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดในการ random matrix ที่มีค่า 0 ที่แตกต่างกัน คือ การกำจัดเกาท์ร่วมกับการคูณ เมทริกซ์ อย่างรวดเร็ว แต่สำหรับกรณีที่เรามี ระบบสมการเชิงเส้นเบาบาง ดังนั้น เราจะมีขั้นตอนวิธีที่ดีกว่าคือ

1. ขั้นตอนวิธีของ Lonczos (อังกฤษ: Lonczos Algorithm)
2. ขั้นตอนวิธีของ Lonczos แบบปิดกั้น (อังกฤษ: Block-Lonzos Algorithm)
3. ขั้นตอนวิธีของ Wiedemann (อังกฤษ: Wiedemann Algorithm)
4. ขั้นตอนวิธีของ Wiedemann แบบปิดกั้น (อังกฤษ: Block-Wiedemann Algorithm)
5. การคำนวณหารากที่สอง

ขั้นตอนวิธีดังที่กล่าวมาในข้างต้นนั้นถูกกล่าวถึงโดย Daniel Loebenberger ซึ่งการคำนวณค่ากำลังสองของ $Z$ นั้น ไม่พบปัญหาใด ๆ มีวิธีการคำนวณ ค่ากำลังสองมามากหลายวิธีในแต่ละขั้นตอนวิธีและวิธีใหม่ล่าสุดคือวิธี Montgomery นั่นเอง