ไพรมอเรียล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไพรมอเรียล (อังกฤษ: primorial) เป็นคำที่รวมกันระหว่างจำนวนเฉพาะ (prime) กับแฟกทอเรียล (factorial) ตั้งโดย ฮาร์วีย์ ดับเนอร์ (Harvey Dubner) มีความหมายสองแบบ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

ฟังก์ชันไพรมอเรียลถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ให้กับทฤษฎีบทของยุคลิด ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์

ความหมายที่หนึ่ง[แก้]

กราฟของ f (n) = pn# ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล pn# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ n ตัวแรก [1][2] นั่นคือ

p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k

เมื่อ pk คือจำนวนเฉพาะตัวที่ k

ตัวอย่างเช่น p5# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 5 ตัวแรก

p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล pn# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 30, 210, 2310, ... (ลำดับ OEISA002110)

ลำดับดังกล่าวรวมถึง p0# = 1 ซึ่งเป็นผลคูณว่างด้วย

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

p_n\# = \exp\left [ (1 + o (1)) \cdot n \log n \right ]

เมื่อ exp คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ex และ o คือสัญกรณ์โอเล็ก (ดูเพิ่มในสัญกรณ์โอใหญ่) [2]

ลอการิทึมธรรมชาติของไพรมอเรียลคือฟังก์ชันเชบีเชฟที่หนึ่ง (the first Chebyshev function) เขียนแทนด้วย ϑ (n) หรือ θ (n) ซึ่ง n จะเข้าใกล้เชิงเส้นเมื่อ n มีค่ามากๆ [3]

ความหมายที่สอง[แก้]

กราฟของฟังก์ชัน f (n) = n# (จุดสีแดง) เปรียบเทียบกับ n! ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า n เมื่อ n ≥ 1 [1][4] นิยามโดย


n\# = 
\begin{cases}
    1 & n = 1 \\
    n \times ( (n-1) \#) & n > 1 \And n \text{ is prime} \\
    (n-1) \# & n > 1 \And n \text{ is composite}  
\end{cases}

ซึ่งมีความหมายเทียบเท่ากับ [4]

n\# = p_{\pi (n) }\#

เมื่อ π (n) คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (ลำดับ OEISA000720) โดยให้จำนวนของจำนวนเฉพาะไม่มากกว่า n

ตัวอย่างเช่น 7# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า 7 นั่นคือ

7\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210

และเนื่องจาก π (7) = 4 ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้อีกวิธีเป็น

7\# = p_{\pi (7) }\# = p_4\# = 210

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ...

จะเห็นว่าไพรมอเรียล n# ซึ่ง n เป็นจำนวนประกอบ จะซ้ำกับจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าคือ (n − 1)# ตามที่ได้กำหนดไว้ในนิยาม

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

\log n\# \sim n

ตารางค่าไพรมอเรียล[แก้]

n n# pn pn#
0 ไม่นิยาม ไม่มีจำนวนเฉพาะ 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

อ้างอิง[แก้]

  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.