ผิวกำลังสอง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (อังกฤษ: quadric surface) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\} ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้


\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j}  x_i  x_j + \sum_{i=0}^D P_i  x_i + R = 0

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าฟีลด์ใด ๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่าประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และประเภทของภาพฉายนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ


\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2}=1

โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,
    ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)    x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,
       ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,
    ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0  \,
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0  \,
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,
ทรงกรวย x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,
ทรงกระบอกเชิงวงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,
    ทรงกระบอกเชิงวงกลม x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1  \,
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา x^2 + 2y = 0 \,

ภาคขยายของผิวกำลังสอง[แก้]

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก

ซุปเปอร์ควอดริก[แก้]

สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ


\left ( { x^2 \over a^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_1} + \left ( {y^2 \over b^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_2} + \left ( {z^2 \over c^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_3}=1

หรือ ในรูป

\,x (\theta,\phi) = \, a\, \operatorname{sign} ( \cos \theta \cos \phi) \, | \cos \theta \cos \phi | ^{\epsilon_1} )
\,y (\theta,\phi) = \, b\, \operatorname{sign} ( \sin \theta \cos \phi) \, | \sin \theta \cos \phi | ^{\epsilon_2} )
\,z (\theta,\phi) = \, c\, \operatorname{sign} ( \sin \phi) \, | \sin \phi | ^{\epsilon_3} )

โดย {-\pi \over 2} \le \phi \le {\pi \over 2} และ -\pi \le \theta < \pi

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง \, \epsilon_1,\ \epsilon_2,\ \epsilon_3 \, โดยที่ค่า \, \epsilon_1\, และ \, \epsilon_2\, นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน \, \epsilon_3 \, นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

\,\epsilon_3 = 4\, Sqx5x54.png Sq114.png Sq224.png Sq444.png
\,\epsilon_3 = 2\, Sqx5x52.png Sq112.png Sq222.png Sq442.png
\,\epsilon_3 = 1\, Sqx5x51.png Sq111.png Sq221.png Sq441.png
\,\epsilon_3 = 0.5\, Sqx5x5x5.png Sq11x5.png Sq22x5.png Sq44x5.png
\,\epsilon_3 = 0.1\, Sqx5x5x1.png Sq11x1.png Sq22x1.png Sq44x1.png
\,\epsilon_3 = 0\,
Sq000.png
Sqx5x50.png Sq110.png Sq220.png Sq440.png
\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0.5 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 1 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 2 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 4 \,

ไฮเปอร์ควอดริก[แก้]

ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

\sum_{i=1}^{N} {|l_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} = 1

โดย

\,l_i (x,y,z) = a_i x + b_i y + c_i z + d_i\,

และ \,N \ge 3\,

HQ111.png HQ222.png HQ2x22.png
\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=1\, \, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=2\, \, \epsilon_1=\epsilon_3=2, \epsilon_2=0.2\,

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง


\sum_{i=1}^{N_p} {|l^{ (pol) }_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} + \sum_{m=1}^{M} {w_m \cdot e^{-\sum_{j=1}^{N_e}{|l^{ (exp) }_{mj} (x,y,z)|^{1\over\epsilon_{mj}}} }}
= 1

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

HQNoHole.png \Rightarrow HQOneHoleV1.png HQOneHoleV2.png HQOneHoleV3.png
ไฮเปอร์ควอดริก ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์