ทรงรี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ทรงรี วาดในซอฟต์แวร์นิวพลอต

ทรงรี คือผิวกำลังสองชนิดหนึ่ง ในสามมิติ เทียบได้กับวงรีในสองมิติ รูปสมการมาตรฐานของทรงรี บนแกน x-y-z ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คือ


{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

โดย a, b และ c เป็นค่าคงที่ จำนวนจริงบวก เป็นค่าที่กำหนดรูปร่างของทรงรี ในกรณีที่ค่าคงที่ 2 ตัวมีค่าเท่ากัน จะได้กรณีพิเศษคือ ทรงคล้ายทรงกลม กรณีที่ค่าทั้ง 3 ค่ามีค่เท่ากันจะได้เป็น ทรงกลม

ถ้าสมมุติให้ ≥ b ≥ c แล้ว

  • a ≠ b ≠ c จะได้เป็น ทรงรีแกนไม่เท่า (scalene ellipsoid)
  • c = 0 ได้เป็น วงรี
  • c > a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนข้าง (prolate spheroid) รูปคล้ายลูกรักบี้
  • c < a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนขั้ว (oblate spheroid)
  • b = a = c ได้ ทรงกลม

ปริมาตร[แก้]

ปริมาตรของทรงรี มีค่าเท่ากับ \frac{4}{3} \pi abc

พื้นที่ผิว[แก้]

พื้นที่ผิวของทรงรี มีค่าเท่ากับ

2 \pi \left ( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F (\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E (\theta, m) \right)

โดยที่

m = \frac{a^2 (b^2-c^2)}{b^2 (a^2-c^2)} \qquad
\theta = \arcsin{\left ( e \right)} \qquad
e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}

และ \,F (\theta, m) \, และ \,E (\theta, m) \, คือ ปริพันธ์เชิงวงรี ไม่สมบูรณ์ชนิดที่หนึ่ง และ ชนิดที่สอง

สูตรหาพื้นที่:

  • กรณีรูปแบน: = 2 \pi \left ( ab \right)
  • กรณีรูปแบนข้าง: = 2 \pi \left ( c^2 + ac \frac{\arcsin{\left ( e \right)}}{e} \right)
  • กรณีรูปแบนขั้ว: = 2 \pi \left ( a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left ( e \right)}}{e} \right)

สูตรหาพื้นที่โดยประมาณ:

  • กรณีแกนไม่เท่า: \approx 4 \pi \left ( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right) ^{1/p}

โดยที่ p ≈ 1.6075 ให้ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ ไม่เกิน 1.061% (สูตรของ นุด ทอมเซน) ; ค่า p = 8/5 = 1.6 เป็นค่าที่ดีที่สุดสำหรับทรงรี ที่คล้ายทรงกลม โดยมีค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1.178% (สูตรของ เดวิด แคนเทรล)