ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีเกม"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 17:58, 2 พฤศจิกายน 2562

ทฤษฎีเกม เป็นสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ศึกษาการตัดสินใจของผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย โดยที่ผลที่แต่ละฝ่ายได้รับขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของผู้เล่นฝ่ายอื่นๆ เกมในทางทฤษฎีเกมหมายถึงสถานการณ์ใดๆ ที่ผู้ตัดสินใจ (เรียกว่าผู้เล่น) หลายฝ่ายมีปฏิสัมพันธ์กัน ซึ่งอาจหมายถึงเกมในความหมายทั่วไป เช่น เป่ายิ้งฉุบหรือหมากรุก หรือหมายถึงสถานการณ์ทางสังคมหรือทางธรรมชาติอื่นๆ ทฤษฎีเกมได้รับการนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาสังคมศาสตร์ต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเศรษฐศาสตร์ และในสาขาชีววิทยาวิวัฒนาการและวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วย

การศึกษาทางทฤษฎีเกมเป็นการศึกษาการตัดสินใจของผู้เล่นที่ตัดสินใจแบบ "เป็นเหตุเป็นผล" ซึ่งหมายถึงการที่ผู้เล่นตัดสินใจโดยมีเป้าหมายที่ชัดเจนและตัดสินใจตามเป้าหมายของตนเองอย่างไม่ผิดพลาด สาขาทฤษฎีเกมในรูปแบบปัจจุบันมักถือกันว่ามีจุดเริ่มต้นจากงานของจอห์น ฟอน นอยมันน์ และออสการ์ มอร์เกินสเติร์น โดยมีผลงานสำคัญคือหนังสือ "ทฤษฎีว่าด้วยเกมและพฤติกรรมทางเศรษฐกิจ" ที่ตีพิมพ์ในปี 1944 ผลงานของจอห์น แนชในการนิยามและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมดุลแบบแนช ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของเกมที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายไม่มีแรงจูงใจที่จะเปลี่ยนการตัดสินใจของตนเอง เป็นปัจจัยที่สำคัญที่ทำให้นักวิชาการสาขาต่างๆ สามารถนำวิชาทฤษฎีเกมไปใช้ประยุกต์อย่างแพร่หลาย

ทฤษฎีเกมเป็นเครื่องมือสำคัญของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์กระแสหลักในปัจจุบัน นักทฤษฎีเกมหลายคนจึงได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ เริ่มจาก จอห์น แนช, ไรน์ฮาร์ด เซลเทน และจอห์น ฮาร์ชาญี ในปี 1994

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเกม

ในทางทฤษฎีเกม "เกม" หมายถึงสถานการณ์ใดๆ ที่มีผู้ตัดสินใจตั้งแต่สองฝ่ายขึ้นไป โดยผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายของตนเองและผลลัพธ์ที่แต่ละฝ่ายได้รับขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของทุกฝ่าย^[1]^: 1-2 ผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายในเกมเรียกว่า "ผู้เล่น" โดยผู้เล่นนี้เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของเกมในทฤษฎีเกมทุกประเภท^[2]^: 2 ทฤษฎีเกมตั้งข้อสมมติว่าผู้เล่นทุกฝ่ายตัดสินใจ "อย่างมีเหตุผล" ซึ่งหมายถึงการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายความต้องการของตัวเองที่ชัดเจนซึ่งมักแสดงในรูปของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ และตัดสินใจโดยเลือกทางเลือกที่ทำให้ตัวเองได้รับอรรถประโยชน์สูงสุด^[1]^: 2^[2]^: 4 ทฤษฎีเกมจึงมีความคล้ายกันกับทฤษฎีการตัดสินใจที่ศึกษาการตัดสินใจของผู้ตัดสินใจรายเดียว แต่แตกต่างกันที่ทฤษฎีเกมศึกษาการตัดสินใจในสถานการณ์ที่การตัดสินใจหลายฝ่ายส่งผลซึ่งกันและกัน^[1]^: 1 ในการประยุกต์ทฤษฎีเกมในสาขาต่างๆ ผู้เล่นในเกมอาจใช้หมายถึงปัจเจกบุคคล แต่ก็อาจใช้หมายถึงกลุ่มบุคคล เช่น บริษัท รัฐบาล ไปจนถึงสิ่งอื่นๆ ที่ไม่ใช่มนุษย์ เช่น สัตว์ พืช^[3] พระเป็นเจ้า^[4] เป็นต้น

การวิเคราะห์ทางทฤษฎีเกมมักกำหนดว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบฟอน นอยมันน์–มอร์เกินสเติร์น ซึ่งมีลักษณะสำคัญคือ หากว่าผลลัพธ์ของการตัดสินใจมีความเป็นไปได้หลายทางและไม่แน่นอนว่าจะได้รับผลลัพธ์ใด ผู้เล่นนั้นจะตัดสินใจในลักษณะที่ให้ได้ค่าคาดหมายของฟังก์ชันอรรถประโยชน์นั้นสูงสุด^[2]^: 5^[5]^: 9

ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ

ทฤษฎีเกมสามารถแบ่งออกได้เป็นสองสาขาใหญ่ๆ ได้แก่ ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ (cooperative game theory) และทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ (non-cooperative game theory) แต่ละสาขาของทฤษฎีเกมมีแนวทางการศึกษาที่แตกต่างกันในด้านรูปแบบการนิยามเกมและแนวคิดที่ใช้ในการวิเคราะห์ การจำแนกทฤษฎีสองแบบนี้มีที่มาเริ่มแรกจากบทความของจอห์น แนช ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1951^[6]^[7]^: 1

ในสาขาทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ นิยามของเกมจะระบุทางเลือกทั้งหมดที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถตัดสินใจเลือกได้ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายตัดสินใจโดยอิสระจากกันและไม่สามารถร่วมกันทำข้อตกลงอื่นๆ ให้มีผลบังคับใช้ได้ ในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ จะสมมติว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถทำข้อตกลงใดๆ กันก็ได้ โดยจะไม่ให้ความสำคัญกับขั้นตอนการเจราจาตกลงกันระหว่างผู้เล่น แต่ให้ความสำคัญกับการวิเคราะห์กลุ่มผู้เล่นว่าผู้เล่นจะมีการจับกลุ่มร่วมกันอย่างไรและจะมีการแบ่งผลประโยชน์กันอย่างไร^[8] คำว่าเกมแบบไม่ร่วมมือในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าทฤษฎีเกมชนิดนี้ไม่สามารถใช้จำลองสถานการณ์ที่มีการ "ร่วมมือ" กันในความหมายทั่วไปว่าการตกลงกระทำเพื่อให้ได้ประโยชน์ร่วมกัน แต่การจำลองสถานการณ์ความร่วมมือหรือการเจรจาต่อรองใดๆ จะต้องระบุทางเลือกและขั้นตอนเหล่านั้นในเกมอย่างชัดเจน และข้อตกลงเหล่านั้นจะไม่มีผลบังคับใช้นอกเหนือจากตามกระบวนการที่ระบุอย่างชัดเจนในเกม^[7]^: 4^[9]

รูปแบบการนิยามเกม

เกมแบบไม่ร่วมมือ

เกมรูปแบบกลยุทธ์

เกมรูปแบบกลยุทธ์ (strategic-form game) หรือเกมรูปแบบปรกติ (normal-form game) ประกอบไปด้วยการระบุผู้เล่นภายในเกม ทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย เรียกในทางทฤษฎีเกมว่ากลยุทธ์ และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละฝ่าย

ในกรณีที่เกมมีผู้เล่นสองฝ่าย และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด เกมนั้นสามารถเขียนออกมาได้ในรูปของตารางโดยให้แต่ละแถวในตารางหมายถึงทางเลือกของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง และแต่ละสดมภ์หมายถึงทางเลือกของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง ช่องของตารางแต่ละช่องระบุอรรถประโยชน์ของผู้เล่นสองฝ่ายในแต่ละกรณี^[10]^: 5 ดังตัวอย่างการนำเสนอเกมเป่ายิ้งฉุบในรูปแบบตารางนี้^[5]^: 78


	ค้อน	กรรไกร	กระดาษ
ค้อน	0,0	1,-1	-1,1
กรรไกร	-1,1	0,0	1,-1
กระดาษ	1,-1	-1,1	0,0

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนทางเลือกของผู้เล่นไม่จำเป็นต้องมีจำนวนจำกัด (ตัวอย่างกรณีที่ผู้เล่นมีทางเลือกไม่จำกัดคือ ผู้ขายสินค้าสามารถตั้งราคาขายสินค้าเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้) หากว่าทางเลือกของผู้เล่นทุกฝ่ายมีจำนวนจำกัด ทางเลือกในกรณีนี้จะเรียกว่าเป็นกลยุทธ์แท้ เกมกลยุทธ์แท้สามารถขยายให้ผู้เล่นสามารถเลือกกำหนดความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกทางเลือกแต่ละทาง เรียกว่ากลยุทธ์ผสม ตัวอย่างเข่น ในเกมเป่ายิ้งฉุบข้างต้น จอห์น ฟอน นอยมันน์ได้เขียนถึงการใช้กลยุทธ์ผสมว่า "สามัญสำนึกจะบอกได้ว่าวิธีที่ดีที่จะเล่นเกมนี้คือการเลือกทางเลือกทั้งสามทางด้วยความน่าจะเป็นแต่ละทางเท่ากับ 1/3"^[11]^: 144

นิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์สามารถเขียนได้ว่า เกมรูปแบบกลยุทธ์ประกอบไปด้วย^[5]^: 77

เซตผู้เล่น $N=\{1,2,\dots ,n\}$
เซตกลยุทธ์ $S_{i}$ ของผู้เล่น $i\in N$ แต่ละฝ่าย โดยให้ $S$ เป็นสัญลักษณ์หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน $S_{1}\times S_{2}\times \dots \times S_{n}$
ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ $u_{i}\colon S\to \mathbb {R}$ ที่กำหนดความสัมพันธ์จาก $s=(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})$ ไปยังค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น $i\in N$ แต่ละฝ่าย ในที่นี้ $s$ เรียกว่าเป็นโพรไฟล์กลยุทธ์ (strategy profile)

ในกรณีที่ $S_{i}$ เป็นเซตกลยุทธ์แท้ เซตกลยุทธ์ผสม $\Sigma _{i}$ สามารถนิยามเป็นเซตของการแจกแจงความน่าจะเป็นของกลยุทธ์แท้ได้ว่า^[5]^: 146

\Sigma _{i}=\left\{\sigma _{i}\colon S_{i}\to [0,1]\colon \sum _{s_{i}inS_{i}}\sigma _{i}(s_{i})=1\right\}

เกมรูปแบบขยาย

เกมรูปแบบขยาย (extensive-form game) เป็นรูปแบบการบรรยายลักษณะของเกมที่ระบุลำดับการตัดสินใจก่อนหลังของผู้เล่นแต่ละฝ่ายอย่างชัดเจน เกมรูปแบบขยายสามารถเขียนได้รูปของกราฟแบบต้นไม้ที่จุดยอดแต่ละจุด (ยกเว้นจุดยอดปลายทาง) ระบุว่าผู้เล่นฝ่ายใดตัดสินใจ และจุดปลายทางระบุว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายได้รับอรรถประโยชน์เท่าใด^[12] อาจกล่าวได้ว่าเกมรูปแบบขยาย มีลักษณะเหมือนต้นไม้ตัดสินใจที่มีผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย^[10]^: 67

เกมในรูปแบบขยายสามารถใช้บรรยายสถานการณ์ที่ผู้เล่นไม่ทราบอย่างครบถ้วนว่าการตัดสินใจต่างๆ ในจุดก่อนหน้าเป็นอย่างไร โดยการแบ่งจุดตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นแต่ละฝ่ายออกเป็นเซตสารสนเทศ หากว่าเซตสารสนเทศมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งจุด หมายความว่าหากเกมดำเนินไปถึงจุดใดจุดหนึ่งในเซตนั้น ผู้เล่นรายนั้นจะไม่ทราบแน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด ทุกจุดตัดสินใจในเซตสารสนเทศเดียวกันจะมีทางเลือกแบบเดียวกัน เกมที่ผู้เล่นรู้แน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด เรียกว่าเกมที่มีสารสนเทศสมบูรณ์ (perfect information) ซึ่งหมายความว่าเซตสารสนเทศทุกเซตจะมีสมาชิกเพียงจุดยอดเดียว^[5]^: 55

เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศสมบูรณ์
เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศไม่สมบูรณ์ เส้นประหมายความว่าจุดยอดสองจุดอยู่ในเซตสารสนเทศเดียวกัน

เกมรูปแบบขยายยังสามารถใช้ระบุสถานการณ์ที่มีปัจจัยภายนอกที่มีลักษณะของความเสี่ยงหรือการสุ่มด้วย (เช่น การทอยลูกเต๋า) โดยใช้วิธีการกำหนดจุดยอดบางจุดว่าเป็นของผู้เล่นที่เรียกว่า "ธรรมชาติ" ทางเลือกจากจุดของธรรมชาติคือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นในสถานการณ์นั้น และกำหนดความน่าจะเป็นที่แต่ละทางจะเกิดขึ้น^[5]^: 50

โดยสรุปแล้ว การนิยามเกมรูปแบบขยาย ประกอบไปด้วย^[10]^: 77

เซตผู้เล่น
ลำดับการตัดสินใจ
ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ซึ่งขึ้นกับการตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นทุกฝ่าย
ทางเลือกของผู้เล่นในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
สิ่งที่ผู้เล่นทราบในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ภายนอกที่มีลักษณะสุ่ม

เกมในรูปแบบขยาย สามารถเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ โดยนิยามทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่ายให้ครอบคลุมทุกรูปแบบการตัดสินใจที่เป็นไปได้ การนิยามทางเลือกในรูปแบบนี้ เปรียบได้กับการที่ผู้เล่นตัดสินใจล่วงหน้าก่อนเริ่มเกมว่าจะตัดสินใจอย่างไรบ้างที่แต่ละจุดที่ต้องตัดสินใจ^[10]^: 85 จากตัวอย่างแผนภาพต้นไม้เกมที่สารสนเทศสมบูรณ์ ผู้เล่น 2 มีจุดที่ต้องตัดสินใจสองจุด คือตัดสินใจหลังจากผู้เล่น 1 เลือก O และตัดสินใจว่าหลังจากผู้เล่น 1 เลือก F หากเขียนเป็นเกมแบบกลยุทธ์ ผู้เล่น 2 จะมีทางเลือกสี่ทาง คือ (Oo,Fo), (Oo,Ff), (Of,Fo) และ (Of, Ff) ซึ่งเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ตามตารางนี้


	(Oo,Fo)	(Oo,Ff)	(Of,Fo)	(Of,Ff)
O	3,2	3,2	0,0	0,0
F	0,0	0,0	2,3	2,3

เกมแบบร่วมมือ

การนิยามทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ ไม่ได้นิยามในลักษณะทางเลือกในการตัดสินใจเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย แต่เป็นฟังก์ชันของกลุ่มผู้เล่น (coalition) โดยค่าของฟังก์ชันนั้นคือค่าอรรถประโยชน์หากว่าผู้เล่นในกลุ่มนั้นตกลงร่วมมือกัน การนิยามเกมในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือเรียกโดยทั่วไปว่าเป็นเกมรูปแบบการจัดกลุ่ม (coalitional form) เกมลักษณะนี้แบ่งออกได้เป็นสองประเภทหลัก คือ เกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (transferable utility) และเกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (non-transferable utility)

ในเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ การจับกลุ่มผู้เล่นแต่ละกลุ่มจะมีค่าอรรถประโยชน์ร่วมกันหนึ่งค่า ซึ่งสมาชิกในกลุ่มนั้นๆ จะแบ่งกันอย่างไรก็ได้ กล่าวคือ อรรถประโยชน์มีลักษณะที่ยกให้กันในอัตราส่วนคงที่ เกมในลักษณะนี้สามารถเปรียบได้ว่าอรรถประโยชน์มีลักษณะเหมือนมูลค่าที่เป็นเงินตรา^[13] นิยามเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ ประกอบไปด้วย เซตผู้เล่น $N$ และฟังก์ชันจำนวนจริงที่ระบุค่า $v(S)$ สำหรับทุกเซตย่อย $S\subseteq N$ โดยแต่ละเซตย่อย $S$ ที่ไม่เป็นเซตว่างนี้ เรียกว่าเป็นกลุ่มผู้เล่น โดยทั่วไปจะกำหนดให้ค่าของเซตว่าง $v(\emptyset )$ เท่ากับศูนย์

เกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ จะไม่สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่ง โดยการนิยามเกมประเภทนี้จะระบุเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของแต่ละกลุ่มผู้เล่น $S\subseteq N$ เป็น $V(S)\subset \mathbb {R} ^{S}$ ^[13]

แนวคิดผลเฉลย

แนวคิดผลเฉลย (solution concept) หมายถึงฟังก์ชันหรือวิธีการที่ระบุผลลัพธ์จากเกมแต่ละเกม โดยนิยามของแนวคิดผลเฉลยแต่ละชนิดจะเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ^[8]

เกมแบบไม่ร่วมมือ

สมดุลแบบแนช

แนวคิดสมดุลแบบแนช (Nash equilibrium; เรียกตามชื่อของจอห์น แนช) เป็นแนวคิดผลเฉลยสำคัญของทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ หลักสำคัญของแนวคิดนี้คือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกทางเลือกที่ดีสุดสำหรับตนเอง เมื่อพิจารณาถึงทางเลือกของผู้เล่นอื่นในจุดสมดุลนั้นๆ^[10]^: 11 ผู้เล่นแต่ละฝ่ายจึงไม่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการเปลี่ยนทางเลือกของตัวเองแต่เพียงฝ่ายเดียวได้ในจุดสมดุล

จากนิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์ข้างต้น หากกำหนดให้ $s_{-i}$ หมายถึงโพรไฟล์กลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนยกเว้นผู้เล่น $i$ โพรไฟล์กลยุทธ์ $s$ สามารถเขียนได้ในอีกรูปแบบหนึ่งเป็น $(s_{i},s_{-i})$

โพร์ไฟล์กลยุทธ์ $s^{*}=(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{n}^{*})$ ถือว่าเป็นจุดสมดุลแบบแนช ถ้ากลยุทธ์ $s_{i}^{*}$ ที่ผู้เล่น $i$ เลือก เป็นกลยุทธ์ที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุดแก่ผู้เล่น $i$ เมื่อผู้เล่นคนอื่นๆ เลือกเล่นกลยุทธ์ที่ระบุใน $s^{*}$ กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผู้เล่นแต่ละคนในเกมไม่สามารถทำให้อรรถประโยชน์ของตัวเองสูงขึ้นด้วยการเลือกกลยุทธ์อื่นที่ไม่ใช่ $s_{i}^{*}$ ตราบใดที่ผู้เล่นคนอื่นทุกคนเลือกกลยุทธ์ของตัวเองตามที่กำหนดในโพรไฟล์กลยุทธ์ $s^{*}$ เงื่อนไขนี้เขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า^[10]^: 11^[5]^: 96

\forall i\in N,\forall s_{i}'\in S_{i}:u_{i}(s^{*})\geq u_{i}(s_{i}',s_{-i}^{*})

เกมบางเกมอาจไม่มีจุดสมดุลแบบแนชในกลยุทธ์แท้ ผลงานสำคัญของแนชคือการพิสูจน์ว่า เกมทุกเกมจะมีจุดสมดุลลักษณะนี้ในกลยุทธ์แบบผสมอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ แนชพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยการใช้ทฤษฎีบทจุดตรึง^[10]^: 29 แนวทางการพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทจุดตรึงนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีนัยทั่วไปกว่าทฤษฎีบทของแนชว่า หากว่าเกมมีเซตกลยุทธ์เป็นเซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิดที่กระชับ คอนเวกซ์ และไม่เป็นเซตว่าง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในเซตโพรไฟล์กลยุทธ์ และกึ่งเว้าต่อกลยุทธ์ของตัวเอง เกมนั้นก็จะมีจุดสมดุลแบบแนชอย่างน้อยหนึ่งจุด กล่าวได้ว่า ทฤษฎีบทของแนชเป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบททั่วไปนี้^[10]^: 34

สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย

สมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดคำตอบที่นิยามจากเกมในรูปแบบกลยุทธ์ ซึ่งสามารถนำมาใช้กับเกมที่มีการตัดสินใจเป็นลำดับก่อนหลังได้เนื่องจากสามารถเขียนเกมออกไปในรูปแบบกลยุทธ์ได้โดยเปรียบเสมือนว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์ของตนเองทั้งเกมก่อนที่จะเริ่มเล่นเกมจริงๆ แต่สมดุลของแนชในเกมที่มีลำดับก่อนหลังอาจมีลักษณะที่มองได้ว่าเป็นการตัดสินใจที่ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากผู้เล่นสามารถเลือกกลยุทธ์ที่เรียกว่า "คำขู่ที่ไม่น่าเชื่อถือ" (non-credible threat) ซึ่งมีลักษณะเหมือนกับการที่ผู้เล่นขู่ไว้ล่วงหน้าว่าจะเลือกทางที่ทำให้ตนเองเสียประโยชน์ เพื่อกดดันผู้เล่นฝ่ายอื่นที่ตัดสินใจก่อนหน้าให้เลือกทางเลือกอื่นแทน

สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย (subgame perfect equilibrium) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดว่าการตัดสินใจของผู้เล่นจะต้องเป็นจุดสมดุลแบบแนชในทุกเกมย่อย (subgame) ที่เริ่มจากจุดยอดใดๆ ในเกม จุดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อยสามารถหาได้ด้วยวิธีการนิรนัยย้อนกลับ (backward induction) ซึ่งหมายถึงการพิจารณาตัดทางเลือกที่ไม่สมเหตุสมผลจากสิ้นสุดของเกมย้อนไปหาจุดเริ่มต้นของเกม

เกมแบบร่วมมือ

แนวทางการวิเคราะห์เกมแบบร่วมมือ มักประกอบด้วยการเลือกวิธีการจับกลุ่มของผู้เล่นหรือแบ่งผลประโยชน์ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข (สัจพจน์) บางประการที่กำหนด เช่น ประสิทธิภาพ ความสมมาตร ความเท่าเทียม ความเสถียร เป็นต้น^[13] แนวคิดผลเฉลยของเกมแบบร่วมมือ อาจมีลักษณะเป็นเซต เช่น คอร์ เซตเสถียร หรือมีลักษณะเป็นจุดเดียว เช่น ค่าแชปลีย์ นิวคลีโอลัส เป็นต้น

คอร์

คอร์ (core) เป็นเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่ไม่มีกลุ่มผู้เล่นใดๆ ที่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการแยกไปตั้งกลุ่มของตนเองได้ ในเกมแบบที่สามารถยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ที่มีผู้เล่น n ฝ่าย คอร์หมายถึงเซตของเวกเตอร์การแบ่งผลประโยชน์ $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ที่

\sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)

สำหรับทุกกลุ่มผู้เล่น

S

ที่เป็นซับเซตของผู้เล่นทั้งหมด^[14]

ค่าแชปลีย์

แนวคิดค่าแชปลีย์ (Shapley value) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดการแบ่งอรรถประโยชน์แบบเจาะจงหนึ่งรูปแบบให้กับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกม แนวคิดนี้เรียกตามชื่อของลอยด์ แชปลีย์ ผู้ที่เสนอแนวคิดนี้ในปี 1953 ค่าแชปลีย์เป็นการแบ่งอรรถประโยชน์รูปแบบเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไขสี่ประการนี้

ประสิทธิภาพแบบปาเรโต: ผลรวมของค่าของผู้เล่นทุกฝ่าย จะต้องเท่ากับค่าอรรถประโยชน์ $v(N)$
สมมาตร: หากผู้เล่นสองฝ่ายมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (นั่นคือ หากแทนที่ผู้เล่นฝ่ายหนึ่งด้วยผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่งในกลุ่มผู้เล่นใดๆ แล้ว มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง) ผู้เล่นสองฝ่ายจะต้องได้รับค่าเท่ากัน
ผู้เล่นศูนย์: หากว่ามีผู้เล่นที่ไม่ทำให้มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นใดๆ เปลี่ยนแปลง ค่าที่ผู้เล่นนั้นได้รับจะเท่ากับศูนย์
สมบัติการบวก: หากว่านำเกมสองเกมมาบวกกัน ค่าแชปลีย์ของเกมนั้นจะเท่ากับผลบวกของค่าแชปลีย์ของแต่ละเกม

ค่าแชปลีย์สามารถนิยามได้ในลักษณะต่อไปนี้

Sh_{i}(N;v)=\sum _{S\subseteq N\backslash \{i\}}{\frac {|S|!\times (n-|S|-1)!}{n}}(v(S\cup \{i\})-v(S))

ประวัติ

ก่อนปี 1928

ในการศึกษาที่มีลักษณะทางทฤษฎีเกมก่อนปี 1950 มีหัวใจสำคัญคือแนวคิดแบบมินิแมกซ์ นั่นคือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดที่เป็นไปได้ของทางเลือกแต่ละทางของตัวเอง แล้วเลือกทางเลือกการันตีผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (นั่นคือ ผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกนั้น ดีกว่ากว่าผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกอื่นๆ) การวิเคราะห์เกมในลักษณะของมินิแมกซ์มีหลักฐานย้อนไปถึงปี 1713 ที่การวิเคราะห์เกมไพ่ เลอ แอร์ (ฝรั่งเศส: le Her) ของของเจมส์ วอลด์เกรฟ ได้รับการเขียนถึงในจดหมายจากปีแยร์ เรมง เดอ มงมอร์ถึงนีโคเลาส์ แบร์นูลลี^[15]

ในปี 1913 แอ็นสท์ แซร์เมโล นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยการประยุกต์ทฤษฎีเซตในด้านทฤษฎีหมากรุก" (เยอรมัน: Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels) ซึ่งพิสูจน์ว่า ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์ของเกมหมากรุกสากลมีผลแพ้ชนะเพียงหนึ่งแบบ แต่ไม่มีการพิสูจน์ว่า ผลมินิแมกซ์ของเกมมีลักษณะเป็นฝ่ายใดชนะหรือเสมอกัน เกมที่ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์มีผลแพ้ชนะแบบเดียวนี้เรียกว่าเป็นเกมที่กำหนดแล้วโดยแท้ (strictly determined) ทฤษฎีบทของแซร์เมโลใช้ได้กับกับเกมแบบขยายที่มีผู้เล่นสองคน มีทางเลือกที่จำกัด มีผลแพ้ชนะและผู้เล่นมีสารสนเทศสมบูรณ์ (ไม่มีการเดินพร้อมกัน และสารสนเทศทุกอย่างเปิดเผยให้ผู้เล่นทุกฝ่ายทราบ) เช่น หมากฮอส หมากล้อม เฮกซ์ เป็นต้น^[8]

เอมีล บอแรล นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตีพิมพ์บทความฉบับในปี 1921, 1924 และ 1927 โดยเป็นการวิเคราะห์กลยุทธ์ผสมและผลเฉลยแบบมินิแมกซ์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบครั้งแรก แต่บอแรลพิสูจน์เฉพาะในกรณีอย่างง่าย และสันนิษฐานว่าผลเฉลยแบบมินิแมกซ์นี้ไม่ได้มีอยู่เป็นการทั่วไป แต่ข้อสันนิษฐาน ฟอน นอยมันน์ ได้พิสูจน์ในภายหลังว่าไม่เป็นจริง

แนวคิดสมดุลแบบแนชก็มีการใช้ในการวิเคราะห์ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์มาก่อนหน้าเช่นกัน ในปี 1838 อ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน ได้ตีพิมพ์หนังสือ "งานวิจัยว่าด้วยหลักคณิตศาสตร์ของทฤษฎีทรัพย์" (ฝรั่งเศส: Recherches sur les principes mathématiques de la théorie de la richesses) โดยมีเนื้อหาบทหนึ่งที่มีทฤษฎีวิเคราะห์ตลาดผูกขาดโดยผู้ขายน้อยราย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกูร์โนใช้การวิเคราะห์ที่มีลักษณะเป็นสมดุลแบบแนชรูปแบบหนึ่ง นับว่าเป็นงานเขียนชิ้นแรกที่มีการใช้แนวคิดสมดุลแบบแนช แต่กูร์โนไม่ได้เล็งเห็นว่าแนวคิดการวิเคราะห์ของเขาสามารถมีนัยทั่วไปที่ใช้กับสถานการณ์เชิงกลยุทธ์ใดๆ

ฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น

ในปี 1928 จอห์น ฟอน นอยมันน์ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยทฤษฎีของเกมนันทนาการ"^[16] (เยอรมัน: Zur Theorie der Gesellschsftsspiele) บทความของฟอน นอยมันน์นำเสนอทฤษฎีของเกมที่มีลักษณะทั่วไปกว่างานก่อนหน้า โดยตั้งคำถามว่า "ผู้เล่น n คน S₁, S₂,...,S_n เล่นเกม G ผู้เล่น S_m คนใดคนหนึ่งจะต้องเล่นอย่างไรจึงจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด" ในบทความนี้ ฟอน นอยมันน์ได้กำหนดเกมรูปแบบขยาย และนิยาม "กลยุทธ์" ว่าหมายถึงแผนการเล่นที่ระบุการตัดสินใจของผู้เล่นที่จุดต่างๆ ในเกม โดยขึ้นกับสารสนเทศที่ผู้เล่นมีในจุดนั้นๆ ซึ่งเป็นลักษณะเดียวกับแนวคิดวิธีการเล่นของบอแรล การนิยามกลยุทธ์ในลักษณะนี้ทำให้ฟอน นอยมันน์สามารถลดรูปเกมแบบขยายให้เหลือเพียงการเลือกกลยุทธ์ของผู้เล่นแต่ละฝ่ายโดยอิสระจากกันก่อนเริ่มเกมเท่านั้น^[17] ฟอน นอยมันน์พิสูจน์ว่า ในเกมที่มีผู้เล่นสองฝ่ายที่ผลรวมเป็นศูนย์และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด หากว่าผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมได้ เกมนี้จะมีจุดมินิแมกซ์หนึ่งจุดเสมอ^[8] เนื้อหาการพิสูจน์ทฤษฎีบทของฟอน นอยมันน์มีลักษณะที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์ แม้ว่าฟอน นอยมันน์ไม่ได้เขียนการพิสูจน์ในลักษณะของจุดตรึงในบทความ^[18] ฟอน นอยมันน์ยกตัวอย่างเกมนันทนาการในบริบทนี้ว่าอาจหมายถึงเกมหลายประเภท เช่น รูเล็ตต์และหมากรุกสากล แต่ก็กล่าวถึงด้วย ความสัมพันธ์ในลักษณะของเกมนี้สามารถอธิบายสถานการณ์อื่นๆ ได้ด้วย โดยได้เขียนในเชิงอรรถว่าคำถามนี้มีลักษณะเหมือนคำถามในวิชาเศรษฐศาสตร์^[19]^: 62

อ็อสคาร์ มอร์เกินสแตร์น เป็นนักเศรษฐศาสตร์ที่ในขณะนั้นสนใจเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างการตัดสินใจของบุคคลหลายฝ่าย ในหนังสือเรื่องการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจที่ตีพิมพ์ในปี 1928 มอร์เกินสแตร์นได้ยกตัวอย่างการต่อกรกันระหว่างตัวละครเชอร์ล็อก โฮมส์กับมอริอาร์ตี ที่โฮมส์พิจารณาหลายชั้นว่ามอริอาร์ตีคิดว่าเขาจะทำอย่างไร^[20] มอร์เกินสแตร์น มอร์เกินสแตร์นได้รับคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์เอดูอาร์ด เช็คระหว่างนำเสนอบทความที่งานสัมมนาในกรุงเวียนนาในปี 1935 ว่าหัวข้องานของมอร์เกินสแตร์นมีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับงานทฤษฎีเรื่องเกมของฟอน นอยมันน์^[21] หลังจากการผนวกออสเตรียเข้ากับนาซีเยอรมนีในปี 1938 มอร์เกินสแตร์นย้ายจากเวียนนาไปยังมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในสหรัฐอเมริกา ทำให้เขาได้พบและมีโอกาสได้ร่วมงานกับฟอน นอยมันน์ จนมีผลงานเป็นหนังสือ "ทฤษฎีว่าด้วยเกมและพฤติกรรมทางเศรษฐกิจ"^[11] (Theory of games and economic behavior) ที่ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1944^[20]^[21]

ทศวรรษ 1950

หลังจากที่หนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นได้รับการตีพิมพ์ ทศวรรษ 1950 เป็นช่วงที่มีผลงานด้านทฤษฎีเกมที่สำคัญหลายอย่าง โดยมีสถาบันสำคัญที่เป็นศูนย์กลางสองแห่งคือมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน และแรนด์ คอร์เปอเรชัน สถาบันวิจัยเอกชนที่ตั้งขึ้นใหม่ที่มุ่งเน้นการทำวิจัยด้านความมั่นคงให้กับรัฐบาลสหรัฐ

ในช่วงปี 1950 ถึง 1953 จอห์น แนช ได้ตีพิมพ์บทความสำคัญสี่บทความซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างมากต่อสาขาทฤษฎีเกม จากนิยามเกมรูปแบบทั่วไปของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น แนชได้นิยามแนวคิดสมดุลสำหรับเกมในรูปแบบทั่วไปที่เรียกในภายหลังว่าเป็นสมดุลแบบแนช และพิสูจน์ว่าเกมรูปแบบทั่วไปที่มีผู้เล่นและกลยุทธ์จำกัดทุกเกมที่ผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมจะมีจุดสมดุลอย่างน้อยหนึ่งจุด ผลงานนี้ตีพิมพ์ครั้งแรกในบทความสั้นชื่อ "จุดสมดุลในเกมที่มีผู้เล่น n ฝ่าย"^[22] (Equilibrium points in n-person games) ในปี 1950 แนชเขียนถึงแนวคิดสมดุลนี้ในวิทยาพนธ์ปริญญาเอก^[17] และตีพิมพ์เนื้อหาฉบับสมบูรณ์ยิ่งขึ้นในบทความปี 1951 ชื่อ "เกมแบบไม่ร่วมมือ"^[6] (Non-cooperative games)

จากเดิมที่เนื้อหาในหนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นไม่ได้แยกระหว่างการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์อย่างเป็นอิสระจากกันและการร่วมมือกัน แนชเป็นคนแรกที่จำแนกทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ โดยแนวคิดสมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดแบบไม่ร่วมมือ แนชยังได้ตีพิมพ์บทความในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยในบทความปี 1950 ชื่อ "ปัญหาการต่อรอง"^[23] (The bargaining problem) แนชได้เสนอผลลัพธ์ของเกมการต่อรองระหว่างผู้เล่นสองฝ่ายโดยใช้สัจพจน์สี่ประการ บทความนี้ของแนชเป็นงานชิ้นแรกในสาขาทฤษฎีเกมที่ไม่ใช้สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ระหว่างผู้เล่น บทความนี้มีที่มาจากข้อเขียนของแนชตั้งแต่สมัยเรียนวิชาเศรษฐศาสตร์ระหว่างประเทศในระดับปริญญาตรี^[24] ในปี 1953 แนชตีพิมพ์บทความ "เกมแบบร่วมมือที่มีผู้เล่นสองฝ่าย"^[25] (Two-person cooperative games) ผลงานของแนชด้านทฤษฎีเกมทำให้แนชได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1994

อัลเบิร์ต ทักเคอร์ (ซึ่งเป็นที่ปรึกษาปริญญาเอกของจอห์น แนช, ลอยด์ แชปลีย์, และเดวิด เกล) และฮาโรลด์ คุห์น นักคณิตศาสตร์ที่พรินซ์ตัน ได้เป็นบรรณาธิการตีพิมพ์ชุดหนังสือรวมเล่มผลงานวิจัยในด้านทฤษฎีเกม โดยตีพิมพ์เล่มแรกใน 1950 ในหนังสือเล่มที่สองที่ตีพิมพ์ในปี 1953 ลอยด์ แชปลีย์ นักศึกษาปริญญาเอกที่พรินซ์ตัน ได้ตีพิมพ์บทความที่นำเสนอแนวคิดคำตอบที่เรียกในภายหลังว่าค่าแชปลีย์ นอกจากนี้ แชปลีย์ ร่วมกับดอนัลด์ จิลลีส ได้เสนอแนวคิดคอร์

ทศวรรษ 1960 เป็นต้นมา

ในปี 1965 ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน ได้ตีพิมพ์บทความที่วิเคราะห์แบบจำลองการผูกขาดโดยผู้ขายน้อยรายด้วยทฤษฎีเกม ในบทความนี้ เซ็ลเทินได้เสนอแนวคิดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย ซึ่งเป็นการนิยามสมดุลแบบแนชที่ละเอียดขึ้นเพื่อแยกสมดุลแบบแนชที่มีลักษณะไม่สมเหตุสมผลในเกมที่มีลำดับก่อนหลังออกไป การนิยามสมดุลที่ละเอียดยิ่งขึ้นเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 โดยในปี 1975 เซ็ลเทินได้เสนอแนวคิดสมดุลแบบสมบูรณ์ ที่นิยามจุดสมดุลที่สมมติว่าผู้เล่นอาจจะ "มือลั่น" เลือกกลยุทธ์ที่ผิดจากกลยุทธ์ในจุดสมดุลได้

พัฒนาการสำคัญในทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือที่เกิดขึ้นในทศวรรษ 1960 อีกข้อหนึ่งคือการจำลองสถานการณ์ที่ผู้เล่นมีสารสนเทศไม่เท่ากัน จอห์น ฮาร์ชาญี ได้ตีพิมพ์บทความที่เสนอแนวคิดเกมแบบเบยส์ (Bayesian game) ที่ตอนเริ่มเกมผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีสารสนเทศส่วนตัวที่ทราบแต่เพียงฝ่ายเดียว เรียกว่าเป็น "ประเภท" ของผู้เล่น และระบุว่าผู้เล่นฝ่ายอื่นเชื่อว่า ประเภทของผู้เล่นนี้มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแต่ละแบบอย่างไร

ความสำคัญของทฤษฎีเกมในสาขาเศรษฐศาสตร์ ทำให้นักวิจัยสาขาทฤษฎีเกมได้รับรางวัลเพื่อระลึกถึงอัลเฟรด โนเบล สาขาเศรษฐศาสตร์หลายคน โดยในปี 1994 จอห์น แนช, ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน และจอห์น ฮาร์ชาญี ได้รับรางวัลในปี 1994 ต่อมา รอเบิร์ต ออมันน์ และทอมัส เชลลิง ได้รับรางวัลร่วมกันในปี 2005 โดยเชลลิงศึกษาทางด้านแบบจำลองพลวัต ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกๆ ของทฤษฎีเกมเชิงวิวัฒนาการ ออมันน์เน้นศึกษาเกี่ยวกับดุลยภาพ ได้ริเริ่มดุลยภาพแบบหยาบ ดุลยภาพสหสัมพันธ์ และพัฒนาการวิเคราะห์ที่เป็นระเบียบมากขึ้นสำหรับสมมติฐานที่เกี่ยวกับความรู้ร่วมและผลที่ตามมา เลออนิด คูร์วิช, เอริก มัสกิน และโรเจอร์ ไมเออร์สัน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 2007 จาก "การวางรากฐานทฤษฎีการออกแบบกลไก" และอัลวิน รอธ และลอยด์ แชปลีย์ ได้รับรางวัลในปี 2012 "สำหรับทฤษฎีการจัดสรรอย่างคงที่และการใช้การออกแบบตลาด"

ตัวอย่างเกมที่มีชื่อเสียง

เกมความลำบากใจของนักโทษ

เกมความลำบากใจของนักโทษ (Prisoner's dilemma) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง แนวคิดของเกมนี้ได้สร้างขึ้นโดย เมอร์ริล ฟลูด และ เมลวิน เดรชเชอร์ ใน พ.ศ. 2493 โดยมีลักษณะเป็นเกมที่ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายพยายามเลือกทางเลือกที่ได้ผลตอบแทนมากที่สุด แต่กลับทำให้ผลตอบแทนรวมที่ได้ต่ำลง มีสถานการณ์ดังนี้

คนร้ายสองคนคือ A และ B ถูกตำรวจจับและถูกแยกไปสอบปากคำทีละคน ตำรวจไม่สามารถดำเนินคดีกับคนร้ายทั้งสองได้ทันทีเพราะไม่มีพยาน คนร้ายแต่ละคนมีทางเลือกสองทางคือ รับสารภาพ และไม่รับสารภาพ ถ้าคนร้ายคนหนึ่งรับสารภาพแต่อีกคนไม่รับ ตำรวจจะกันคนที่รับสารภาพไว้เป็นพยานและปล่อยตัวไป และจะส่งฟ้องคนที่ไม่รับสารภาพซึ่งมีโทษจำคุก 20 ปี ถ้าทั้งสองคนรับสารภาพ จะได้รับการลดโทษเหลือจำคุกคนละ 10 ปี แต่ถ้าทั้งสองคนไม่รับสารภาพ ตำรวจจะสามารถส่งฟ้องได้เพียงข้อหาเล็กน้อยเท่านั้นซึ่งมีโทษจำคุก 1 ปี

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	รับสารภาพ	ไม่รับสารภาพ
รับสารภาพ	-10, -10	0, -20
ไม่รับสารภาพ	-20, 0	-1, -1

จะเห็นว่ากลยุทธเด่นของผู้เล่นทั้งสองฝ่ายคือการรับสารภาพ เพราะไม่ว่าผู้เล่นอีกฝ่ายจะตัดสินใจอย่างไร ก็จะได้ผลตอบแทนที่ดีกว่าเสมอ แต่เมื่อทั้งสองฝ่ายเลือกทางเลือกนี้ กลับไม่ให้ผลตอบแทนที่ดีที่สุด ถึงแม้ผู้เล่นจะทราบว่าผลตอบแทนที่ดีที่สุดจะเกิดขึ้นเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่รับสารภาพ แต่ทั้งคู่อาจไม่กล้าทำเพราะไม่ไว้ใจอีกฝ่ายว่าจะรับสารภาพหรือไม่ จึงทำให้ทั้งสองฝ่ายต้องได้รับผลตอบแทนที่ต่ำลง และจุด (-10, -10) ก็เป็นจุดสมดุลของแนชในเกมนี้ เพราะผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่สามารถเปลี่ยนไปเลือกทางเลือกอื่นที่ได้ผลตอบแทนดีกว่านี้

เกมไก่ตื่น

เกมไก่ตื่น (Chicken) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนขับรถด้วยความเร็วสูงเข้าหากัน ฝ่ายที่หักหลบรถก่อนจะเป็นผู้แพ้ แต่ถ้าผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่หักหลบรถ รถจะชนกันและจะทำให้ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายเกิดความเสียหายอย่างมาก

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	หลบ	ไม่หลบ
หลบ	0, 0	-1, +1
ไม่หลบ	+1, -1	-10, -10

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (-1, +1) และ (+1, -1) แต่วิธีทางจิตวิทยาสำหรับผู้เล่นเกมนี้คือ พยายามส่งสัญญาณให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามเห็นว่า ตนจะไม่หักหลบอย่างแน่นอน ซึ่งจะทำให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามต้องยอมหักหลบไปเอง มิฉะนั้นจะเสียผลตอบแทนอย่างมาก

เกมแห่งความร่วมมือ

เกมแห่งความร่วมมือ (Stag hunt) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง ซึ่งเป็นทางเลือกระหว่างทางที่ปลอดภัยกับการให้ความร่วมมือกับอีกฝ่าย มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนต้องการเลือกล่าสัตว์ชนิดหนึ่งระหว่างกวางกับกระต่าย ซึ่งกวางมีราคาดีกว่ากระต่ายมาก แต่ก็ล่ายากกว่าเช่นกัน จำเป็นต้องใช้สองคนร่วมมือกันจึงจะล่าได้ ในขณะที่กระต่ายมีราคาต่ำแต่ล่าได้ง่าย สามารถล่าได้โดยใช้เพียงคนเดียว

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	ล่ากวาง	ล่ากระต่าย
ล่ากวาง	+10, +10	0, +3
ล่ากระต่าย	+3, 0	+3, +3

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (+10, +10) และ (+3, +3) ซึ่งการที่ผู้เล่นทั้งสองจะได้ผลตอบแทนสูงสุดนั้น จะต้องอาศัยความร่วมมือร่วมใจกัน คือเลือกล่ากวางทั้งคู่ ซึ่งผู้เล่นจะต้องมีความไว้วางใจผู้เล่นอีกฝ่ายด้วย

การประยุกต์ใช้

รัฐศาสตร์

มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านรัฐศาสตร์ เช่น การหาเสียงเลือกตั้ง ในปี พ.ศ. 2500 แอนโทนี ดาวน์ส ได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง An Economic Theory of Democracy ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับการเลือกตำแหน่งในการหาเสียงเลือกตั้งให้ได้ผลดีที่สุด

เศรษฐศาสตร์

ในทางเศรษฐศาสตร์ ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาช่วยในการตัดสินใจในหลาย ๆ ด้านมาเป็นเวลานานแล้ว เช่น การต่อรองผลประโยชน์ การประมูล การแข่งขันของผู้ผลิต การรวมกลุ่มทางเศรษฐกิจ โดยมีแนวคิดสำคัญที่ใช้คือเรื่องจุดสมดุลของแนช อย่างไรก็ตาม ในเกมการแข่งขันทางธุรกิจ อาจมีการปรับเปลี่ยนกลยุทธได้ตลอดเวลาเพื่อให้ได้รับผลตอบแทนที่สูงขึ้น และผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเข้าสู่จุดสมดุลของแนช ซึ่งเป็นจุดที่ทุกฝ่ายไม่สามรถเปลี่ยนกลยุทธเพื่อให้ได้ผลตอบแทนสูงกว่านี้อีกแล้ว

ชีววิทยา

มีการใช้ทฤษฎีเกมเพื่ออธิบายถึงปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางชีววิทยา เช่น ในปี พ.ศ. 2473 โรนัลด์ ฟิชเชอร์ ได้ใช้ทฤษฎีเกมในการอธิบายถึงอัตราส่วนของสัตว์เพศผู้ต่อเพศเมียที่เป็น 1:1 เนื่องจากเป็นอัตราส่วนที่สามารถสืบพันธุ์ได้จำนวนมากที่สุด นอกจากนี้ นักชีววิทยายังใช้ทฤษฎีเกมเพื่อช่วยในการศึกษาพฤติกรรมต่าง ๆ ของสัตว์ เช่น การใช้เกมไก่ตื่นในการอธิบายถึงการต่อสู้ของสัตว์

วิทยาการคอมพิวเตอร์

มีการพัฒนาในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมเพื่อหาขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดในการเล่นเกมในสถานการณ์หนึ่งเป็นระยะเวลานาน

สังคมวิทยา

ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านสังคมวิทยา เช่น วิลลาร์ด แวน ออร์มาน ควินท์ และ เดวิด ลูอิส ได้พัฒนาการศึกษาด้านประเพณีนิยม และมีการวิเคราะห์เกี่ยวกับเกมต่าง ๆ ที่ต้องเลือกระหว่างศีลธรรมกับผลประโยชน์ของตนเอง เช่น เกมความลำบากใจของนักโทษ

ในวัฒนธรรมร่วมสมัย

ชีวิตของนักทฤษฎีเกมและนักคณิตศาสตร์ จอห์น แนช ได้ถูกนำมาสร้างเป็นหนังอิงชีวประวัติในปี 2001 ในชื่อ A Beautiful Mind โดยอิงจากหนังสือปี 1998 โดยซิลเวียร์ นาซาร์ นำแสดงโดยรัสเซลล์ โครว์ที่เล่นเป็นแนช
ในปี 1959 นวนิยายวิทยาศาสตร์สงคราม Starship Troopers โดย โรเบิร์ต เอ ไฮน์ไลน์ ได้อ้างถึง "ทฤษฎีเกม" และ "ทฤษฎีแห่งเกม" ในภาพยนตร์เรื่องเดียวกันในปี 1997 ตัวละครที่ชื่อ คาร์ล เจนกินส์ ได้อ้างถึงงานด้านการข่าวกรองทางการทหารนี้ว่าเป็นการมอบหมายงานด้าน "เกมและทฤษฎี"

อ้างอิง

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Myerson, Roger B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-34116-3.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). A course in game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-65040-1.
↑ Falster, Daniel S.; Westoby, Mark (2003). "Plant height and evolutionary games". Trends in Ecology & Evolution. 18 (7): 337–343. doi:10.1016/S0169-5347(03)00061-2.
↑ Brams, Steven J. (1980). Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament. MIT Press. ISBN 9780262021449.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013). Game theory. แปลโดย Hellman, Ziv. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00548-8.
↑ ^6.0 ^6.1 Nash, John (1951). "Non-cooperative games". Annals of Mathematics. 54 (2): 286–295.
↑ ^7.0 ^7.1 Harsanyi, John C.; Selten, Reinhard (1988). A general theory of equilibrium selection in games. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-08173-3.
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Aumann, R.J. (2008). "Game theory". New Palgrave dictionary of economics. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5_942-2. ISBN 978-1-349-95121-5.
↑ van Damme, Eric (2015). "Game theory: Noncooperative games". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 582–591. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8. ISBN 978-0-08-097087-5.
↑ ^10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 ^10.5 ^10.6 ^10.7 Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). Game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4.
↑ ^11.0 ^11.1 von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (2007) [1944]. Theory of games and economic behavior (60th anniversary ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13061-3.
↑ Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 19–40. doi:10.1016/S1574-0005(05)80005-0.
↑ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Hokari, Toru; Thomson, William (2015). "Cooperative game theory". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 867–880. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7. ISBN 978-0-08-097087-5.
↑ Kannai, Yakar (1992). "The core and balancedness". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 356–395. doi:10.1016/S1574-0005(05)80015-3.
↑ Dimand, Robert W.; Dimand, Mary Ann (1992). "The early history of the theory of strategic games from Waldegrave to Borel". ใน Weintraub, E. Roy (บ.ก.). Toward a history of game theory. Duke University Press. pp. 15–27. doi:10.1215/00182702-24-Supplement-15. ISBN 978-0-8223-1253-6.
↑ von Neumann, J. (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele". Mathematische Annalen. 100 (1): 295–320. doi:10.1007/BF01448847.
↑ ^17.0 ^17.1 Myerson, Roger B. (1999). "Nash equilibrium and the history of economic theory". Journal of Economic Literature. 37 (3): 1067–1082. doi:10.1257/jel.37.3.1067.
↑ Kjeldsen, Tinne Hoff (2001). "John von Neumann's conception of the minimax theorem: A journey through different mathematical contexts". Archive for History of Exact Sciences. 56 (1): 39–68. doi:10.1007/s004070100041.
↑ Leonard, Robert (2010). Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900–1960. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56266-9.
↑ ^20.0 ^20.1 Leonard, Robert J. (1995). "From parlor games to social science: von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory 1928-1944". Journal of Economic Literature. 33 (2): 730–761.
↑ ^21.0 ^21.1 Morgenstern, Oskar (1976). "The collaboration between Oskar Morgenstern and John von Neumann on the theory of games". Journal of Economic Literature. 14 (3): 805–816.
↑ Nash, John F. (1950). "Equilibrium points in n-person games". Proceedings of the National Academy of Sciences. 36 (1): 48–49. doi:10.1073/pnas.36.1.48.
↑ Nash, John F. (1950). "The bargaining problem". Econometrica. 18 (2): 155–162. doi:10.2307/1907266.
↑ Leonard, Robert J. (1994). "Reading Cournot, reading Nash: The creation and stabilisation of the Nash equilibrium". Economic Journal. 104 (424): 492–511. doi:10.2307/2234627.
↑ Nash, John F. (1953). "Two-person cooperative games". Econometrica. 21 (1): 128–140. doi:10.2307/1906951.

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิตำราภาษาอังกฤษ มีคู่มือ ตำรา หรือวิธีการเกี่ยวกับ: ทฤษฎีเกม

[Myerson-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Myerson, Roger B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-34116-3.

[Osborne_Rubinstein-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). A course in game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-65040-1.

[Plant_height-3] Falster, Daniel S.; Westoby, Mark (2003). "Plant height and evolutionary games". Trends in Ecology & Evolution. 18 (7): 337–343. doi:10.1016/S0169-5347(03)00061-2.

[Biblical_games-4] Brams, Steven J. (1980). Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament. MIT Press. ISBN 9780262021449.

[Maschler_et_al-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013). Game theory. แปลโดย Hellman, Ziv. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00548-8.

[Nash_1951-6] 6.0 ^6.1 Nash, John (1951). "Non-cooperative games". Annals of Mathematics. 54 (2): 286–295.

[Harsanyi_Selten-7] 7.0 ^7.1 Harsanyi, John C.; Selten, Reinhard (1988). A general theory of equilibrium selection in games. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-08173-3.

[Palgrave_Game_Theory-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Aumann, R.J. (2008). "Game theory". New Palgrave dictionary of economics. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5_942-2. ISBN 978-1-349-95121-5.

[van_Damme-9] van Damme, Eric (2015). "Game theory: Noncooperative games". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 582–591. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8. ISBN 978-0-08-097087-5.

[Fudenberg_Tirole-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 ^10.5 ^10.6 ^10.7 Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). Game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4.

[VonNeumann_Morgenstern-11] 11.0 ^11.1 von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (2007) [1944]. Theory of games and economic behavior (60th anniversary ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13061-3.

[Hart-12] Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 19–40. doi:10.1016/S1574-0005(05)80005-0.

[Hokari_Thomson-13] 13.0 ^13.1 ^13.2 Hokari, Toru; Thomson, William (2015). "Cooperative game theory". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 867–880. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7. ISBN 978-0-08-097087-5.

[Kannai-14] Kannai, Yakar (1992). "The core and balancedness". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 356–395. doi:10.1016/S1574-0005(05)80015-3.

[Dimand_Dimand_1992-15] Dimand, Robert W.; Dimand, Mary Ann (1992). "The early history of the theory of strategic games from Waldegrave to Borel". ใน Weintraub, E. Roy (บ.ก.). Toward a history of game theory. Duke University Press. pp. 15–27. doi:10.1215/00182702-24-Supplement-15. ISBN 978-0-8223-1253-6.

[von_Neumann_1928-16] von Neumann, J. (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele". Mathematische Annalen. 100 (1): 295–320. doi:10.1007/BF01448847.

[Myerson_1999-17] 17.0 ^17.1 Myerson, Roger B. (1999). "Nash equilibrium and the history of economic theory". Journal of Economic Literature. 37 (3): 1067–1082. doi:10.1257/jel.37.3.1067.

[Kjeldsen_2001-18] Kjeldsen, Tinne Hoff (2001). "John von Neumann's conception of the minimax theorem: A journey through different mathematical contexts". Archive for History of Exact Sciences. 56 (1): 39–68. doi:10.1007/s004070100041.

[Leonard_2010-19] Leonard, Robert (2010). Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900–1960. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56266-9.

[Leonard_1995-20] 20.0 ^20.1 Leonard, Robert J. (1995). "From parlor games to social science: von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory 1928-1944". Journal of Economic Literature. 33 (2): 730–761.

[Morgenstern_1976-21] 21.0 ^21.1 Morgenstern, Oskar (1976). "The collaboration between Oskar Morgenstern and John von Neumann on the theory of games". Journal of Economic Literature. 14 (3): 805–816.

[Nash_1950-22] Nash, John F. (1950). "Equilibrium points in n-person games". Proceedings of the National Academy of Sciences. 36 (1): 48–49. doi:10.1073/pnas.36.1.48.

[Nash_1950_Bargaining-23] Nash, John F. (1950). "The bargaining problem". Econometrica. 18 (2): 155–162. doi:10.2307/1907266.

[Leonard_1994-24] Leonard, Robert J. (1994). "Reading Cournot, reading Nash: The creation and stabilisation of the Nash equilibrium". Economic Journal. 104 (424): 492–511. doi:10.2307/2234627.

[Nash_1953-25] Nash, John F. (1953). "Two-person cooperative games". Econometrica. 21 (1): 128–140. doi:10.2307/1906951.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

@@ บรรทัด 134: / บรรทัด 134: @@
 แนวทางการวิเคราะห์เกมแบบร่วมมือ มักประกอบด้วยการเลือกวิธีการจับกลุ่มของผู้เล่นหรือแบ่งผลประโยชน์ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข ([[สัจพจน์]]) บางประการที่กำหนด เช่น ประสิทธิภาพ ความสมมาตร ความเท่าเทียม ความเสถียร เป็นต้น{{r|Hokari Thomson}} แนวคิดผลเฉลยของเกมแบบร่วมมือ อาจมีลักษณะเป็นเซต เช่น [[คอร์ (ทฤษฎีเกม)|คอร์]] [[เซตเสถียร]] หรือมีลักษณะเป็นจุดเดียว เช่น [[ค่าแชปลีย์]] [[นิวคลีโอลัส (ทฤษฎีเกม)|นิวคลีโอลัส]] เป็นต้น
+==== คอร์ ====
+คอร์ ({{lang|en|core}}) เป็นเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่ไม่มีกลุ่มผู้เล่นใดๆ ที่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการแยกไปตั้งกลุ่มของตนเองได้ ในเกมแบบที่สามารถยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ที่มีผู้เล่น ''n'' ฝ่าย คอร์หมายถึงเซตของเวกเตอร์การแบ่งผลประโยชน์ <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> ที่
+<math display="block">\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)</math>
+สำหรับทุกกลุ่มผู้เล่น <math>S</math> ที่เป็นซับเซตของผู้เล่นทั้งหมด{{r|Kannai}}
+==== ค่าแชปลีย์ ====
+แนวคิดค่าแชปลีย์ ({{lang|en|Shapley value}}) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดการแบ่งอรรถประโยชน์แบบเจาะจงหนึ่งรูปแบบให้กับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกม แนวคิดนี้เรียกตามชื่อของ[[ลอยด์ แชปลีย์]] ผู้ที่เสนอแนวคิดนี้ในปี 1953 ค่าแชปลีย์เป็นการแบ่งอรรถประโยชน์รูปแบบเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไขสี่ประการนี้
+* [[ประสิทธิภาพแบบปาเรโต]]: ผลรวมของค่าของผู้เล่นทุกฝ่าย จะต้องเท่ากับค่าอรรถประโยชน์ <math>v(N)</math>
+* สมมาตร: หากผู้เล่นสองฝ่ายมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (นั่นคือ หากแทนที่ผู้เล่นฝ่ายหนึ่งด้วยผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่งในกลุ่มผู้เล่นใดๆ แล้ว มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง) ผู้เล่นสองฝ่ายจะต้องได้รับค่าเท่ากัน
+* ผู้เล่นศูนย์: หากว่ามีผู้เล่นที่ไม่ทำให้มูลค่าของกลุ่มผู้เล่นใดๆ เปลี่ยนแปลง ค่าที่ผู้เล่นนั้นได้รับจะเท่ากับศูนย์
+* สมบัติการบวก: หากว่านำเกมสองเกมมาบวกกัน ค่าแชปลีย์ของเกมนั้นจะเท่ากับผลบวกของค่าแชปลีย์ของแต่ละเกม
+ค่าแชปลีย์สามารถนิยามได้ในลักษณะต่อไปนี้
+<math display="block"> Sh_i (N; v) = \sum_{S \subseteq N \backslash \{ i \} } \frac{|S|! \times (n - |S| - 1)!}{n} (v (S \cup \{ i \} ) - v(S) )</math>
 == ประวัติ ==
+=== ก่อนปี 1928 ===
-[[ไฟล์:JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg|thumb|จอห์น ฟอน นอยมันน์]]
+ในการศึกษาที่มีลักษณะทางทฤษฎีเกมก่อนปี 1950 มีหัวใจสำคัญคือแนวคิดแบบมินิแมกซ์ นั่นคือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดที่เป็นไปได้ของทางเลือกแต่ละทางของตัวเอง แล้วเลือกทางเลือกการันตีผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (นั่นคือ ผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกนั้น ดีกว่ากว่าผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดของทางเลือกอื่นๆ) การวิเคราะห์เกมในลักษณะของมินิแมกซ์มีหลักฐานย้อนไปถึงปี 1713 ที่การวิเคราะห์เกมไพ่ เลอ แอร์ ({{lang-fr|le Her}}) ของของ[[เจมส์ วอลด์เกรฟ]] ได้รับการเขียนถึงในจดหมายจาก[[ปีแยร์ เรมง เดอ มงมอร์]]ถึง[[นีโคเลาส์ แบร์นูลลี]]{{r|Dimand Dimand 1992}}
-[[ไฟล์:John f nash 20061102 3.jpg|thumb|จอห์น แนช]]
-การอภิปรายในยุคแรกถึงตัวอย่างของเกมสองผู้เล่นเกิดขึ้นนานมาแล้วก่อนการศึกษาทฤษฎีเกมทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โดยพบหลักฐานที่กล่าวถึงทฤษฎีเกมเป็นครั้งแรกในจดหมายเมื่อปี [[พ.ศ. 2256]] ซึ่งเขียนโดย [[เจมส์ วอลด์เกรฟ]] เขาได้ทำการวิเคราะห์หากลยุทธที่ดีที่สุดในการเล่นเกมไพ่ชนิดหนึ่งที่มีผู้เล่นสองคน ชื่อว่า le Her โดยใช้หลักการคล้ายกับทฤษฎีเกม ต่อมา [[เจมส์ แมดิสัน]]ได้วิเคราะห์ทฤษฎีเกมถึงวิธีที่รัฐจะถูกคาดหวังให้วางตัวภายใต้ระบบการเก็บภาษีที่แตกต่างกัน<ref>James Madison, Vices of the Political System of the United States, April, 1787. [http://www.constitution.org/jm/17870400_vices.htm Link]</ref><ref>Jack Rakove, "James Madison and the Constitution", ''History Now'', Issue 13 September 2007. [http://www.historynow.org/09_2007/historian2.html Link]</ref> และ[[อ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน]] ได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง ''Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth'' ใน [[พ.ศ. 2381]] ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของการศึกษาของเจมส์
+ในปี 1913 [[แอ็นสท์ แซร์เมโล]] นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยการประยุกต์ทฤษฎีเซตในด้านทฤษฎีหมากรุก" ({{lang-de|Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels}}) ซึ่งพิสูจน์ว่า ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์ของเกม[[หมากรุกสากล]]มีผลแพ้ชนะเพียงหนึ่งแบบ แต่ไม่มีการพิสูจน์ว่า ผลมินิแมกซ์ของเกมมีลักษณะเป็นฝ่ายใดชนะหรือเสมอกัน เกมที่ผลลัพธ์แบบมินิแมกซ์มีผลแพ้ชนะแบบเดียวนี้เรียกว่าเป็นเกมที่กำหนดแล้วโดยแท้ ({{lang|en|strictly determined}}) ทฤษฎีบทของแซร์เมโลใช้ได้กับกับเกมแบบขยายที่มีผู้เล่นสองคน มีทางเลือกที่จำกัด [[เกมผลรวมเป็นศูนย์|มีผลแพ้ชนะ]]และผู้เล่นมีสารสนเทศสมบูรณ์ (ไม่มีการเดินพร้อมกัน และสารสนเทศทุกอย่างเปิดเผยให้ผู้เล่นทุกฝ่ายทราบ) เช่น [[หมากฮอส]] [[หมากล้อม]] [[เฮกซ์]] เป็นต้น{{r|Palgrave Game Theory}}
+[[เอมีล บอแรล]] นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตีพิมพ์บทความฉบับในปี 1921, 1924 และ 1927 โดยเป็นการวิเคราะห์กลยุทธ์ผสมและผลเฉลยแบบมินิแมกซ์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบครั้งแรก แต่บอแรลพิสูจน์เฉพาะในกรณีอย่างง่าย และสันนิษฐานว่าผลเฉลยแบบมินิแมกซ์นี้ไม่ได้มีอยู่เป็นการทั่วไป แต่ข้อสันนิษฐาน ฟอน นอยมันน์ ได้พิสูจน์ในภายหลังว่าไม่เป็นจริง
+แนวคิดสมดุลแบบแนชก็มีการใช้ในการวิเคราะห์ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์มาก่อนหน้าเช่นกัน ในปี 1838 [[อ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน]] ได้ตีพิมพ์หนังสือ "งานวิจัยว่าด้วยหลักคณิตศาสตร์ของทฤษฎีทรัพย์" ({{lang-fr|Recherches sur les principes mathématiques de la théorie de la richesses}}) โดยมีเนื้อหาบทหนึ่งที่มีทฤษฎีวิเคราะห์ตลาดผูกขาดโดยผู้ขายน้อยราย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกูร์โนใช้การวิเคราะห์ที่มีลักษณะเป็นสมดุลแบบแนชรูปแบบหนึ่ง นับว่าเป็นงานเขียนชิ้นแรกที่มีการใช้แนวคิดสมดุลแบบแนช แต่กูร์โนไม่ได้เล็งเห็นว่าแนวคิดการวิเคราะห์ของเขาสามารถมีนัยทั่วไปที่ใช้กับสถานการณ์เชิงกลยุทธ์ใดๆ
+=== ฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น ===
+[[ไฟล์:JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg|thumb|left|จอห์น ฟอน นอยมันน์]]
+ในปี 1928 [[จอห์น ฟอน นอยมันน์]]ตีพิมพ์บทความ "ว่าด้วยทฤษฎีของเกมนันทนาการ"{{r|von Neumann 1928}} ({{lang-de|Zur Theorie der Gesellschsftsspiele}}) บทความของฟอน นอยมันน์นำเสนอทฤษฎีของเกมที่มีลักษณะทั่วไปกว่างานก่อนหน้า โดยตั้งคำถามว่า "ผู้เล่น n คน S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>,...,S<sub>n</sub> เล่นเกม G ผู้เล่น S<sub>m</sub> คนใดคนหนึ่งจะต้องเล่นอย่างไรจึงจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด" ในบทความนี้ ฟอน นอยมันน์ได้กำหนดเกมรูปแบบขยาย และนิยาม "กลยุทธ์" ว่าหมายถึงแผนการเล่นที่ระบุการตัดสินใจของผู้เล่นที่จุดต่างๆ ในเกม โดยขึ้นกับสารสนเทศที่ผู้เล่นมีในจุดนั้นๆ ซึ่งเป็นลักษณะเดียวกับแนวคิดวิธีการเล่นของบอแรล การนิยามกลยุทธ์ในลักษณะนี้ทำให้ฟอน นอยมันน์สามารถลดรูปเกมแบบขยายให้เหลือเพียงการเลือกกลยุทธ์ของผู้เล่นแต่ละฝ่ายโดยอิสระจากกันก่อนเริ่มเกมเท่านั้น{{r|Myerson 1999}} ฟอน นอยมันน์พิสูจน์ว่า ในเกมที่มีผู้เล่นสองฝ่ายที่ผลรวมเป็นศูนย์และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด หากว่าผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมได้ เกมนี้จะมีจุดมินิแมกซ์หนึ่งจุดเสมอ{{r|Palgrave Game Theory}} เนื้อหาการพิสูจน์ทฤษฎีบทของฟอน นอยมันน์มีลักษณะที่เกี่ยวข้องกับ[[ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์]] แม้ว่าฟอน นอยมันน์ไม่ได้เขียนการพิสูจน์ในลักษณะของจุดตรึงในบทความ{{r|Kjeldsen 2001}} ฟอน นอยมันน์ยกตัวอย่างเกมนันทนาการในบริบทนี้ว่าอาจหมายถึงเกมหลายประเภท เช่น [[รูเล็ตต์]]และ[[หมากรุกสากล]] แต่ก็กล่าวถึงด้วย ความสัมพันธ์ในลักษณะของเกมนี้สามารถอธิบายสถานการณ์อื่นๆ ได้ด้วย โดยได้เขียนในเชิงอรรถว่าคำถามนี้มีลักษณะเหมือนคำถามในวิชาเศรษฐศาสตร์{{r|Leonard 2010|page1=62}}
+[[อ็อสคาร์ มอร์เกินสแตร์น]] เป็นนักเศรษฐศาสตร์ที่ในขณะนั้นสนใจเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างการตัดสินใจของบุคคลหลายฝ่าย ในหนังสือเรื่องการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจที่ตีพิมพ์ในปี 1928 มอร์เกินสแตร์นได้ยกตัวอย่างการต่อกรกันระหว่างตัวละคร[[เชอร์ล็อก โฮมส์]]กับ[[เจมส์ มอริอาร์ตี|มอริอาร์ตี]] ที่โฮมส์พิจารณาหลายชั้นว่ามอริอาร์ตีคิดว่าเขาจะทำอย่างไร{{r|Leonard 1995}} มอร์เกินสแตร์น มอร์เกินสแตร์นได้รับคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์[[เอดูอาร์ด เช็ค]]ระหว่างนำเสนอบทความที่งานสัมมนาในกรุงเวียนนาในปี 1935 ว่าหัวข้องานของมอร์เกินสแตร์นมีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับงานทฤษฎีเรื่องเกมของฟอน นอยมันน์{{r|Morgenstern 1976}} หลังจาก[[อันชลุส|การผนวกออสเตรียเข้ากับนาซีเยอรมนี]]ในปี 1938 มอร์เกินสแตร์นย้ายจากเวียนนาไปยัง[[มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน]]ในสหรัฐอเมริกา ทำให้เขาได้พบและมีโอกาสได้ร่วมงานกับฟอน นอยมันน์ จนมีผลงานเป็นหนังสือ "ทฤษฎีว่าด้วยเกมและพฤติกรรมทางเศรษฐกิจ"{{r|VonNeumann Morgenstern}} ({{lang|en|Theory of games and economic behavior}}) ที่ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1944{{r|Leonard 1995|Morgenstern 1976}}
-ทฤษฎีเกมได้มีการศึกษาเป็นสาขาเฉพาะครั้งแรกเมื่อ[[จอห์น ฟอน นอยมันน์]]ตีพิมพ์ผลงานของตนในปี [[พ.ศ. 2473]]<ref>J. v. Neumann (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele," ''Mathematische Annalen'', 100(1), p [http://www.springerlink.com/content/q07530916862223p/ p. 295]-320. English translation: "On the Theory of Games of Strategy," in A. W. Tucker and R. D. Luce, ed. (1959),''Contributions to the Theory of Games'', v. 4, p [http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=9lSVFzsTGWsC&oi=fnd&pg=PA13&dq==P_RGaKOVtC&sig=J-QB_GglFSVWw9KfXjut62E6AmM#v=onepage&q&f=false p. 13]-[http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=9lSVFzsTGWsC&oi=fnd&pg=PA42&dq==P_RGaKOVtC&sig=J-QB_GglFSVWw9KfXjut62E6AmM#v=onepage&q&f=false 42.]</ref> และได้ตีพิมพ์ตำรา ''Theory of Games and Economic Behavior'' ที่เขียนร่วมกับ [[ออสการ์ มอร์เกินสเติร์น]] ใน [[พ.ศ. 2487]] ซึ่งกล่าวถึงวิธีการหาทางเลือกที่สอดคล้องกันทั้งสองฝ่ายสำหรับ[[เกมที่ต้องมีแพ้-ชนะ]]สองผู้เล่น ในช่วงนี้ งานศึกษาทฤษฎีเกมส่วนใหญ่มุ่งศึกษาทฤษฎีเกมความร่วมมือ ซึ่งวิเคราะห์ถึงกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกลุ่มบุคคล โดยสันนิษฐานว่าพวกเขาสามารถตกลงในข้อตกลงระหว่างกันเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่เหมาะสมได้<ref>Leonard, Robert. ''Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory''. Cambridge University Press, 2010</ref>
+=== ทศวรรษ 1950 ===
-ใน [[พ.ศ. 2493]] ได้ปรากฏการอภิปรายครั้งแรกถึงปัญหา "ความลำบากใจของนักโทษ" ขึ้น ซึ่งในขณะเดียวกัน [[จอห์น แนช]]ได้พัฒนาหลักเกณฑ์สำหรับความสอดคล้องกันในกลยุทธ์ของผู้เล่นทั้งสองฝ่าย ซึ่งเรียกว่า "[[จุดสมดุลของแนช]]" ซึ่งใช้ได้กับเกมหลากหลายประเภทกว่าเกณฑ์ที่เสนอโดยฟอน นอย์มันน์และมอร์เกินสเติร์น จุดสมดุลดังกล่าวเป็นเรื่องทั่วไปมากพอที่จะเปิดโอกาสให้วิเคราะห์เกมการแข่งขันนอกเหนือไปจากเกมความร่วมมือได้ จอห์น แนชได้รับ[[รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์]] ร่วมกับ[[จอห์น ฮาร์ชาญี]] และ[[ไรน์ฮาร์ด เซลเทน]] ในปี [[พ.ศ. 2537]] ในฐานะที่เป็นผู้นำหลักทฤษฎีเกมไปประยุกต์ใช้ในด้านเศรษฐศาสตร์ และในช่วงคริสต์ศวรรษ 1970 (พ.ศ. 2513-2522) ได้มีการประยุกต์ทฤษฎีเกมเข้ากับวิชาชีววิทยา ส่วนการประยุกต์ในวิชารัฐศาสตร์และปรัชญาได้มีมาตั้งแต่คริสต์ทศวรรษ 1950 (พ.ศ. 2493-2502) แล้ว
+[[ไฟล์:John Forbes Nash, Jr. by Peter Badge.jpg|thumb|จอห์น แนช]]
+หลังจากที่หนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นได้รับการตีพิมพ์ ทศวรรษ 1950 เป็นช่วงที่มีผลงานด้านทฤษฎีเกมที่สำคัญหลายอย่าง โดยมีสถาบันสำคัญที่เป็นศูนย์กลางสองแห่งคือมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน และ[[แรนด์ คอร์เปอเรชัน]] สถาบันวิจัยเอกชนที่ตั้งขึ้นใหม่ที่มุ่งเน้นการทำวิจัยด้านความมั่นคงให้กับรัฐบาลสหรัฐ
-ทฤษฎีเกมประสบกับกิจกรรมจำนวนมากในทศวรรษที่ 1950 ในช่วงที่แนวคิดเรื่องแก่นหลัก เกมรูปแบบขยาย การเล่นไม่จริง เกมซ้ำๆ และมูลค่าแชปลีย์ ถูกพัฒนาขึ้น นอกจากนี้
+ในช่วงปี 1950 ถึง 1953 [[จอห์น แนช]] ได้ตีพิมพ์บทความสำคัญสี่บทความซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างมากต่อสาขาทฤษฎีเกม จากนิยามเกมรูปแบบทั่วไปของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์น แนชได้นิยามแนวคิดสมดุลสำหรับเกมในรูปแบบทั่วไปที่เรียกในภายหลังว่าเป็นสมดุลแบบแนช และพิสูจน์ว่าเกมรูปแบบทั่วไปที่มีผู้เล่นและกลยุทธ์จำกัดทุกเกมที่ผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์ผสมจะมีจุดสมดุลอย่างน้อยหนึ่งจุด ผลงานนี้ตีพิมพ์ครั้งแรกในบทความสั้นชื่อ "จุดสมดุลในเกมที่มีผู้เล่น n ฝ่าย"{{r|Nash 1950}} ({{lang|en|Equilibrium points in n-person games}}) ในปี 1950 แนชเขียนถึงแนวคิดสมดุลนี้ในวิทยาพนธ์ปริญญาเอก{{r|Myerson 1999}} และตีพิมพ์เนื้อหาฉบับสมบูรณ์ยิ่งขึ้นในบทความปี 1951 ชื่อ "เกมแบบไม่ร่วมมือ"{{r|Nash 1951}} ({{lang|en|Non-cooperative games}})
-ใน 1979 โรเบิร์ต แอกเซลรอด พยายามที่จะสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์เปรียบเสมือนกับผู้เล่นและพบว่าในการแข่งขันระหว่างกัน ผู้ชนะมักจะเป็นโปรแกรม "ตาต่อตา ฟันต่อฟัน" ที่ร่วมมือกันในขั้นตอนแรก และในระยะถัดมาจะทำในสิ่งที่คู่ต่อสู้ทำในระยะก่อนหน้าทุกครั้ง
+จากเดิมที่เนื้อหาในหนังสือของฟอน นอยมันน์และมอร์เกินสแตร์นไม่ได้แยกระหว่างการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์อย่างเป็นอิสระจากกันและการร่วมมือกัน แนชเป็นคนแรกที่จำแนกทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ โดยแนวคิดสมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดแบบไม่ร่วมมือ แนชยังได้ตีพิมพ์บทความในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยในบทความปี 1950 ชื่อ "ปัญหาการต่อรอง"{{r|Nash 1950 Bargaining}} ({{lang|en|The bargaining problem}}) แนชได้เสนอผลลัพธ์ของเกมการต่อรองระหว่างผู้เล่นสองฝ่ายโดยใช้สัจพจน์สี่ประการ บทความนี้ของแนชเป็นงานชิ้นแรกในสาขาทฤษฎีเกมที่ไม่ใช้สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ระหว่างผู้เล่น บทความนี้มีที่มาจากข้อเขียนของแนชตั้งแต่สมัยเรียนวิชาเศรษฐศาสตร์ระหว่างประเทศในระดับปริญญาตรี{{r|Leonard 1994}} ในปี 1953 แนชตีพิมพ์บทความ "เกมแบบร่วมมือที่มีผู้เล่นสองฝ่าย"{{r|Nash 1953}} ({{lang|en|Two-person cooperative games}}) ผลงานของแนชด้านทฤษฎีเกมทำให้แนชได้รับ[[รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์]]ในปี 1994
-=== ความสำเร็จในด้านการชนะรางวัลต่างๆ ===
-ในปี 1965 ไรน์ฮาร์ด เซลเทนได้ริเริ่มแนวคิดของผลลัพธ์ที่เรียกว่าดุลยภาพสมบูรณ์ของเกมย่อย ซึ่งต่อมาได้เป็นการปัดฝุ่นคำว่าดุลยภาพของแนชขึ้นมาใหม่ (ต่อมาเขาได้ริเริ่มดุลยภาพสมบูรณ์ของภาวะสั่นไหวของมือขึ้นมาอีกเช่นกัน) ในปี 1994 แนช เซลเทน และฮาร์ชาญี ได้เป็นผู้ชนะรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์สำหรับงานที่เกี่ยวกับทฤษฎีเกมทางเศรษฐศาสตร์
+[[อัลเบิร์ต ทักเคอร์]] (ซึ่งเป็นที่ปรึกษาปริญญาเอกของจอห์น แนช, [[ลอยด์ แชปลีย์]], และ[[เดวิด เกล]]) และฮาโรลด์ คุห์น นักคณิตศาสตร์ที่พรินซ์ตัน ได้เป็นบรรณาธิการตีพิมพ์ชุดหนังสือรวมเล่มผลงานวิจัยในด้านทฤษฎีเกม โดยตีพิมพ์เล่มแรกใน 1950 ในหนังสือเล่มที่สองที่ตีพิมพ์ในปี 1953 [[ลอยด์ แชปลีย์]] นักศึกษาปริญญาเอกที่พรินซ์ตัน ได้ตีพิมพ์บทความที่นำเสนอแนวคิดคำตอบที่เรียกในภายหลังว่า[[ค่าแชปลีย์]] นอกจากนี้ แชปลีย์ ร่วมกับ[[ดอนัลด์ จิลลีส]] ได้เสนอแนวคิด[[คอร์]]
-ในทศวรรษ 1970 ได้มีการประยุกต์ทฤษฎีเกมเข้ากับวิชาชีววิทยา โดยส่วนใหญ่เป็นผลงานของ[[จอห์น เมนาร์ด สมิธ]] และกลยุทธ์วิวัฒนาการอย่างคงที่ นอกจากนี้ แนวคิดของดุลยภาพสหสัมพันธ์ ภาวะสมบูรณ์ของภาวะการสั่นไหวของมือ และความรู้ร่วม ถูกนำมาใช้และวิเคราะห์
+=== ทศวรรษ 1960 เป็นต้นมา ===
-ในปี 2005 นักทฤษฎีเกม [[โทมัส เชลลิง]] และ[[โรเบิร์ต ออมันน์]] ได้รับรางวัลโนเบลต่อจากแนช เซลเทน และฮาร์ชาญี โดยเชลลิงศึกษาทางด้านแบบจำลองพลวัต ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกๆ ของทฤษฎีเกมเชิงวิวัฒนาการ ออมันน์เน้นศึกษาเกี่ยวกับดุลยภาพ ได้ริเริ่มดุลยภาพแบบหยาบ ดุลยภาพสหสัมพันธ์ และพัฒนาการวิเคราะห์ที่เป็นระเบียบมากขึ้นสำหรับสมมติฐานที่เกี่ยวกับความรู้ร่วมและผลที่ตามมา
+ในปี 1965 [[ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน]] ได้ตีพิมพ์บทความที่วิเคราะห์แบบจำลองการผูกขาดโดยผู้ขายน้อยรายด้วยทฤษฎีเกม ในบทความนี้ เซ็ลเทินได้เสนอ[[#สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย|แนวคิดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย]] ซึ่งเป็นการนิยามสมดุลแบบแนชที่ละเอียดขึ้นเพื่อแยกสมดุลแบบแนชที่มีลักษณะไม่สมเหตุสมผลในเกมที่มีลำดับก่อนหลังออกไป การนิยามสมดุลที่ละเอียดยิ่งขึ้นเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 โดยในปี 1975 เซ็ลเทินได้เสนอแนวคิด[[สมดุลแบบสมบูรณ์]] ที่นิยามจุดสมดุลที่สมมติว่าผู้เล่นอาจจะ "มือลั่น" เลือกกลยุทธ์ที่ผิดจากกลยุทธ์ในจุดสมดุลได้
+พัฒนาการสำคัญในทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือที่เกิดขึ้นในทศวรรษ 1960 อีกข้อหนึ่งคือการจำลองสถานการณ์ที่ผู้เล่นมีสารสนเทศไม่เท่ากัน [[จอห์น ฮาร์ชาญี]] ได้ตีพิมพ์บทความที่เสนอแนวคิด[[เกมแบบเบยส์]] ({{lang|en|Bayesian game}}) ที่ตอนเริ่มเกมผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีสารสนเทศส่วนตัวที่ทราบแต่เพียงฝ่ายเดียว เรียกว่าเป็น "ประเภท" ของผู้เล่น และระบุว่าผู้เล่นฝ่ายอื่นเชื่อว่า ประเภทของผู้เล่นนี้มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแต่ละแบบอย่างไร
-ในปี 2007 [[เลออนิด คูร์วิช]] ร่วมกับ[[เอริก มัสกิน]] และ[[โรเจอร์ ไมเออร์สัน]] ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์จาก "การวางรากฐานทฤษฎีการออกแบบกลไก" งานของไมเออร์สันรวมถึงการนำเสนอดุลยภาพที่เหมาะสม และหนังสือระดับปริญญาโทที่สำคัญ ''Game Theory, Analysis of Conflict'' ส่วนฮัวร์วิกซ์ริเริ่มและทำแนวคิดของแรงจูงใจที่สอดคล้องกันให้เป็นรูปเป็นร่างมากขึ้น
+ความสำคัญของทฤษฎีเกมในสาขาเศรษฐศาสตร์ ทำให้นักวิจัยสาขาทฤษฎีเกมได้รับ[[รางวัลเพื่อระลึกถึงอัลเฟรด โนเบล สาขาเศรษฐศาสตร์]]หลายคน โดยในปี 1994 จอห์น แนช, ไรน์ฮาร์ท เซ็ลเทิน และจอห์น ฮาร์ชาญี ได้รับรางวัลในปี 1994 ต่อมา [[รอเบิร์ต ออมันน์]] และ[[ทอมัส เชลลิง]] ได้รับรางวัลร่วมกันในปี 2005 โดยเชลลิงศึกษาทางด้านแบบจำลองพลวัต ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกๆ ของทฤษฎีเกมเชิงวิวัฒนาการ ออมันน์เน้นศึกษาเกี่ยวกับดุลยภาพ ได้ริเริ่มดุลยภาพแบบหยาบ ดุลยภาพสหสัมพันธ์ และพัฒนาการวิเคราะห์ที่เป็นระเบียบมากขึ้นสำหรับสมมติฐานที่เกี่ยวกับความรู้ร่วมและผลที่ตามมา [[เลออนิด คูร์วิช]], [[เอริก มัสกิน]] และ[[โรเจอร์ ไมเออร์สัน]] ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 2007 จาก "การวางรากฐานทฤษฎีการออกแบบกลไก" และ[[อัลวิน รอธ]] และลอยด์ แชปลีย์ ได้รับรางวัลในปี 2012 "สำหรับทฤษฎีการจัดสรรอย่างคงที่และการใช้การออกแบบตลาด"
-ในปี 2012 [[อัลวิน รอธ]] และ [[ลอยด์ แชปลีย์]] ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ "สำหรับทฤษฎีการจัดสรรอย่างคงที่และการใช้การออกแบบตลาด" และในปี 2014 รางวัลโนเบลได้มอบแก่นักทฤษฎีเกม [[ฌ็อง ตีโรล]]
 == ตัวอย่างเกมที่มีชื่อเสียง ==
@@ บรรทัด 257: / บรรทัด 281: @@
 {{รายการอ้างอิง|refs=
 <!-- ตำราทฤษฎีเกม -->
-<ref name="Maschler et al">{{cite book |last1= Maschler |first1= Michael |last2= Solan |first2= Eilon |last3= Zamir |first3= Shmuel |translator-last= Hellman |translator-first= Ziv |title= Game theory |year= 2013 |publisher= Cambridge University Press |location= Cambridge |isbn=978-1-107-00548-8}}</ref>
+<ref name="Maschler et al">{{cite book |last1=Maschler |first1=Michael |last2=Solan |first2=Eilon |last3=Zamir |first3=Shmuel |translator-last=Hellman |translator-first=Ziv |title=Game theory |year=2013 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |isbn=978-1-107-00548-8}}</ref>
-<ref name="Fudenberg Tirole">{{cite book |last1= Fudenberg |first1= Drew |last2= Tirole |first2= Jean |title= Game theory |year= 1991 |publisher= MIT Press |location= Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-262-06141-4}}</ref>
+<ref name="Fudenberg Tirole">{{cite book |last1=Fudenberg |first1=Drew |last2=Tirole |first2=Jean |title=Game theory |year=1991 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-262-06141-4}}</ref>
-<ref name="Myerson">{{cite book |last= Myerson |first= Roger B. |title= Game theory: Analysis of conflict |year= 1991 |publisher= Harvard University Press |location= Cambridge, Massachusetts |isbn=0-674-34116-3}}</ref>
+<ref name="Myerson">{{cite book |last=Myerson |first=Roger B. |title=Game theory: Analysis of conflict |year=1991 |publisher=Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=0-674-34116-3}}</ref>
-<ref name="Osborne Rubinstein">{{cite book |last1= Osborne |first1= Martin J. |last2= Rubinstein |first2= Ariel |title= A course in game theory |year= 1994 |publisher= MIT Press |location= Cambridge, Massachusetts |isbn=0-262-65040-1}}</ref>
+<ref name="Osborne Rubinstein">{{cite book |last1=Osborne |first1=Martin J. |last2=Rubinstein |first2=Ariel |title=A course in game theory |year=1994 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=0-262-65040-1}}</ref>
-<ref name="Harsanyi Selten">{{cite book |last1= Harsanyi |first1= John C. |last2= Selten |first2= Reinhard |title= A general theory of equilibrium selection in games |year= 1988 |publisher= MIT Press |location= Cambridge, Massachusetts |isbn=0-262-08173-3}}</ref>
+<ref name="Harsanyi Selten">{{cite book |last1=Harsanyi |first1=John C. |last2=Selten |first2=Reinhard |title=A general theory of equilibrium selection in games |year=1988 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=0-262-08173-3}}</ref>
-<ref name="VonNeumann Morgenstern">{{cite book |last1=Von Neumann |first1=John |authorlink1= |last2=Morgenstern |first2=Oskar |authorlink2= |title=Theory of Games and Economic Behavior |edition=3 |year=1953 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton |language=en |oclc=10006173}}</ref>
+<ref name="VonNeumann Morgenstern">{{cite book |last1=von Neumann |first1=John |last2=Morgenstern |first2=Oskar |title=Theory of games and economic behavior |edition=60th anniversary |year=2007 |origyear=1944 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-13061-3}}</ref>
+<ref name="Leonard 2010">{{cite book |last=Leonard |first=Robert |title=Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900–1960 |year=2010 |publisher=Cambridge University Press |location=New York |isbn=978-0-521-56266-9}}</ref>
 <!-- บทหนังสือ -->
-<ref name="van Damme">{{Cite encyclopedia |edition= 2 |publisher= Elsevier |isbn= 978-0-08-097087-5 |volume= 9 |pages= 582–591 |editor-last= Wright |editor-first= James D. |last= van Damme |first= Eric |title= Game theory: Noncooperative games |encyclopedia= International encyclopedia of the social & behavioral sciences |doi= 10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8 |location= Oxford |date= 2015}}</ref>
+<ref name="van Damme">{{Cite encyclopedia |last=van Damme |first=Eric |title=Game theory: Noncooperative games |editor-last=Wright |editor-first=James D. |encyclopedia=International encyclopedia of the social & behavioral sciences |edition=2 |date=2015 |location=Oxford |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-097087-5 |volume=9 |pages=582–591 |doi=10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8}}</ref>
-<ref name="Hokari Thomson">{{Cite encyclopedia |edition= 2 |publisher= Elsevier |isbn= 978-0-08-097087-5 |volume= 9 |pages= 867-880 |editor-last= Wright |editor-first= James D. |last1= Hokari |first= Toru |last2=Thomson |first2=William |title= Cooperative game theory |encyclopedia= International encyclopedia of the social & behavioral sciences |doi=10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7 |location= Oxford |date= 2015}}</ref>
+<ref name="Hokari Thomson">{{Cite encyclopedia |last1=Hokari |first=Toru |last2=Thomson |first2=William |title=Cooperative game theory |editor-last=Wright |editor-first=James D. |encyclopedia=International encyclopedia of the social & behavioral sciences |edition=2 |date=2015 |location=Oxford |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-097087-5 |volume=9 |pages=867-880 |doi=10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7}}</ref>
-<ref name="Palgrave Game Theory">{{Cite encyclopedia |publisher= Palgrave Macmillan |isbn= 978-1-349-95121-5 |last= Aumann |first= R.J. |title= Game theory |encyclopedia= New Palgrave dictionary of economics |location= London |doi= 10.1057/978-1-349-95121-5_942-2 |date= 2008}}</ref>
+<ref name="Palgrave Game Theory">{{Cite encyclopedia |last=Aumann |first=R.J. |title=Game theory |encyclopedia=New Palgrave dictionary of economics |date=2008 |publisher=Palgrave Macmillan |isbn=978-1-349-95121-5 |location=London |doi=10.1057/978-1-349-95121-5_942-2}}</ref>
-<ref name="Hart">{{cite book |last= Hart |first= Sergiu |editor-last1= Aumann |editor-first1=Robert J. |editor-last2= Hart |editor-first2=Sergiu |title=Handbook of game theory with economic applications |volume=1 |publisher=Elsevier |date=1992 |pages=19-40 |chapter=Games in extensive and strategic forms |doi=10.1016/S1574-0005(05)80005-0}}</ref>
+<ref name="Hart">{{cite book |last=Hart |first=Sergiu |editor-last1=Aumann |editor-first1=Robert J. |editor-last2=Hart |editor-first2=Sergiu |title=Handbook of game theory with economic applications |chapter=Games in extensive and strategic forms |volume=1 |publisher=Elsevier |date=1992 |pages=19-40 |doi=10.1016/S1574-0005(05)80005-0}}</ref>
+<ref name="Kannai">{{cite book |last=Kannai |first=Yakar |editor-last1=Aumann |editor-first1=Robert J. |editor-last2=Hart |editor-first2=Sergiu |title=Handbook of game theory with economic applications |chapter=The core and balancedness |volume=1 |publisher=Elsevier |date=1992 |pages=356-395 |doi=10.1016/S1574-0005(05)80015-3}}</ref>
 <!-- บทความทฤษฎีเกม-->
-<ref name="Nash 1951">{{Cite journal |issn= 0003-486X |volume= 54 |issue= 2 |pages= 286–295 |last= Nash |first= John |title= Non-cooperative games |journal= Annals of Mathematics |date= 1951 |jstor= 1969529}}</ref>
+<ref name="von Neumann 1928">{{cite journal |last1=von Neumann |first1=J. |title=Zur Theorie der Gesellschaftsspiele |journal=Mathematische Annalen |volume=100 |issue=1 |year=1928 |pages=295–320 |doi=10.1007/BF01448847}}</ref>
+<ref name="Nash 1950">{{cite journal |last=Nash |first=John F. |title=Equilibrium points in n-person games |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |date=1950 |volume=36 |issue=1 |pages=48–49 |doi=10.1073/pnas.36.1.48}}</ref>
+<ref name="Nash 1950 Bargaining">{{cite journal |last1=Nash |first1=John F. |date=1950 |title=The bargaining problem |journal=Econometrica |volume=18 |issue=2 |pages=155-162 |doi=10.2307/1907266}}</ref>
+<ref name="Nash 1951">{{Cite journal |last=Nash |first=John |title=Non-cooperative games |journal=Annals of Mathematics |date=1951 |volume=54 |issue=2 |pages=286–295}}</ref>
+<ref name="Nash 1953">{{cite journal |last1=Nash |first1=John F. |date=1953 |title=Two-person cooperative games |journal=Econometrica |volume=21 |issue=1 |pages=128-140 |doi=10.2307/1906951}}</ref>
+<!-- บทความประวัติศาสตร์-->
+<ref name="Dimand Dimand 1992">{{cite book |last1 = Dimand |first1 = Robert W. |last2 = Dimand |first2 = Mary Ann |chapter = The early history of the theory of strategic games from Waldegrave to Borel |editor-last = Weintraub |editor-first=E. Roy |title = Toward a history of game theory |date = 1992 |publisher = Duke University Press |isbn = 978-0-8223-1253-6 |pages = 15–27 |doi=10.1215/00182702-24-Supplement-15}}</ref>
+<ref name="Leonard 1994">{{cite journal |last1=Leonard |first1=Robert J. |date=1994 |title=Reading Cournot, reading Nash: The creation and stabilisation of the Nash equilibrium |journal=Economic Journal |volume=104 |issue=424 |pages=492-511 |doi=10.2307/2234627}}</ref>
+<ref name="Leonard 1995">{{Cite journal |last=Leonard |first=Robert J. |title=From parlor games to social science: von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory 1928-1944 |journal=Journal of Economic Literature |date=1995 |volume=33 |issue=2 |pages=730–761}}</ref>
+<ref name="Morgenstern 1976">{{Cite journal |last=Morgenstern |first=Oskar |title=The collaboration between Oskar Morgenstern and John von Neumann on the theory of games |journal=Journal of Economic Literature |date=1976 |volume=14 |issue=3 |pages=805–816}}</ref>
+<ref name="Kjeldsen 2001">{{Cite journal |last=Kjeldsen |first=Tinne Hoff |title=John von Neumann's conception of the minimax theorem: A journey through different mathematical contexts |journal=Archive for History of Exact Sciences |date=2001 |volume=56 |issue=1 |pages=39–68 |doi=10.1007/s004070100041 }}</ref>
+<ref name="Myerson 1999">{{cite journal |last1=Myerson |first1=Roger B. |date=1999 |title=Nash equilibrium and the history of economic theory |journal=Journal of Economic Literature |volume=37 |issue=3 |pages=1067-1082 |doi=10.1257/jel.37.3.1067}}</ref>
 <!-- หนังสือหรือบทความที่ประยุกต์ทฤษฎีเกม -->
-<ref name="Plant height">{{cite journal |last1= Falster |first1= Daniel S. |last2= Westoby |first2= Mark |title= Plant height and evolutionary games |journal= Trends in Ecology & Evolution |volume=18 |issue=7 |year=2003 |pages=337-343 |doi=10.1016/S0169-5347(03)00061-2 }}</ref>
+<ref name="Plant height">{{cite journal |last1=Falster |first1=Daniel S. |last2=Westoby |first2=Mark |title=Plant height and evolutionary games |journal=Trends in Ecology & Evolution |volume=18 |issue=7 |year=2003 |pages=337-343 |doi=10.1016/S0169-5347(03)00061-2 }}</ref>
-<ref name="Biblical games">{{cite book| last1= Brams |first1= Steven J. |title=Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament |year= 1980 |publisher= MIT Press |isbn= 9780262021449}}</ref>
+<ref name="Biblical games">{{cite book| last1=Brams |first1=Steven J. |title=Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament |year=1980 |publisher=MIT Press |isbn=9780262021449}}</ref>
 }}