ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย (อังกฤษ: expected value, expectation) ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุกๆค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function)สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต

ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจาก law of large numbers ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์ หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลายๆครั้งมากๆ

นิยาม

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x₁ ด้วยความน่าจะเป็น p₁,มีโอกาสมีค่าเป็น x₂ ด้วยความน่าจะเป็น p₂, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น x_k ด้วยความน่าจะเป็น p_k แล้วค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X จะถูกนิยามได้เป็น

$\operatorname{E}[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_kp_k \;.$

An illustration of the convergence of die roll sequence averages to the expected value of 3.5 as the number of rolls (trials) grows.

ตัวอย่างที่ 1. ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่าๆกัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 1/6) ค่าคาดหมายของ X คือ

$\operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.$

ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า n ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ n ใหญ่ขึ้น

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x₁, x₂, ... ด้วยความน่าจะเป็น p₁, p₂, ... ตามลำดับ ค่าคาดหมายของ X จะนิยายได้ว่า

$\operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,$

ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ X ไม่ปรากฏ ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น c/1², c/2², c/3², c/4², ..., โดย c = π²/6 (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1) ค่าของอนุกรมจะเป็น

$\sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i = c\,\bigg( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \bigg)$

ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า ln(2) ≈ 0.69315 แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ X ในกรณีนี้จึงไม่มี

ตัวแปรต่อเนื่อง

เมื่อตัวแปรสุ่ม X มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดหมายของ X สามารถคำนวณได้จาก

$\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .$