ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (อังกฤษ: bijection, bijective function) คือฟังก์ชัน f จากเซต X ไปยังเซต Y ด้วยสมบัติที่ว่า จะมีสมาชิก x ใน X เพียงหนึ่งเดียวสำหรับทุก ๆ สมาชิก y ใน Y นั่นคือ f (x) = y และไม่มีสมาชิกเหลือทั้งใน X และ Y

หรือกล่าวได้อีกทางหนึ่งคือ f จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ถ้าหากมีความสัมพันธ์แบบสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence) ระหว่างเซตทั้งสอง นั่นคือเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one) และฟังก์ชันทั่วถึง (onto)

ยกตัวอย่างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่น ฟังก์ชัน succ นิยามจากเซตของจำนวนเต็ม Z ไปยัง Z โดยมีความสัมพันธ์สำหรับสมาชิก x เป็น succ (x) = x + 1 อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ฟังก์ชัน sumdif ที่สมาชิกคู่อันดับ (x, y) ของจำนวนจริง โดยมีสัมพันธ์กับคู่อันดับเป็น sumdif (x, y) = (x + y, x − y) เป็นต้น

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่นิยามขึ้นจากเซตหนึ่งไปยังเซตเดิม อาจเรียกได้ว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยน

เซตของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทั้งหมดที่เกิดจากเซต X ไปยัง Y เขียนแทนด้วย X ↔ Y

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงมีบทบาทเป็นหลักการพื้นฐานของความรู้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ดังเช่นในนิยามของสมสัณฐาน (isomorphism) รวมทั้งแนวคิดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง เช่น สมานสัณฐาน (homeomorphism) และอนุพันธสัณฐาน (diffeomorphism), กรุปเรียงสับเปลี่ยน (permutation group), การแปลงเชิงภาพฉาย (projective map) และอื่น ๆ อีกมากมาย

ฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ซ้าย) และฟังก์ชันทั่วถึง (ขวา)

ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์ผกผัน f ⁻¹ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้ f ⁻¹ ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงด้วย

กำหนดให้ฟังก์ชัน f : X ↔ Y และ g : Y ↔ Z เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ฟังก์ชันประกอบ g ∘ f ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงด้วย และมีฟังก์ชันผกผันเป็น (g ∘ f) ⁻¹ = f ⁻¹ ∘ g ⁻¹

ในทางตรงข้าม ถ้าหากการประกอบของฟังก์ชันทั้งสอง g ∘ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เราสามารถสรุปได้เพียงว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (ดูภาพ)

ความสัมพันธ์ f จาก X ไป Y จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อมีความสัมพันธ์ g จาก Y ไป X อันหนึ่ง ที่ทำให้ g ∘ f เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บน X และทำให้ f ∘ g เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บน Y จึงส่งผลให้ทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน

ถ้า X และ Y เป็นเซตจำกัดแล้ว จะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างสองเซตจาก X ไปยัง Y ก็ต่อเมื่อ X และ Y มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน จากภาวะ "จำนวนสมาชิกที่เท่ากัน" นี้เองที่นำไปสู่การนิยามภาวะเชิงการนับของเซตอนันต์ในเรื่องของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ซึ่งเป็นแนวทางหนึ่งในการพิจารณาขนาดของเซตอนันต์ที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างและการโต้แย้ง

• สำหรับเซต X ใด ๆ กำหนดฟังก์ชันเอกลักษณ์ id_x จาก X ไปยัง X นิยามโดย id_x (x) = x ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
• ฟังก์ชัน f บนเส้นจำนวนจริง R ไปยัง R นิยามโดย f (x) = 2x + 1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เนื่องจากค่า y แต่ละตัวมีค่า x = (y − 1) / 2 เพียงตัวเดียวที่ทำให้ f (x) = y
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง g : R → R ซึ่งนิยามโดย g (x) = e^x ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าไม่มีค่า x ใดใน R ที่ทำให้ g (x) = −1 ซึ่งแสดงว่า g ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง อย่างไรก็ตาม ถ้าหากเปลี่ยนโคโดเมนจากจำนวนจริงไปเป็นจำนวนจริงบวก R⁺ = (0, +∞) แล้ว g จะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทันที ซึ่งฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ g⁻¹ (x) = ln x
• ฟังก์ชัน h : R → [0, +∞) ซึ่งนิยามโดย h (x) = x² ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่า h (−1) = h (+1) = 1 ซึ่งแสดงว่า h ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าหากเปลี่ยนโดเมนไปเป็น [0, +∞) แล้ว h จะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทันที ซึ่งฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันรากที่สองที่เป็นบวก h⁻¹ (x) = √x
• R → R : x ↦ (x − 1) (x) (x + 1) = x³ − x ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าโดเมน −1, 0 และ +1 จับคู่ไปยัง 0 ตัวเดียวกัน
• R → [−1, 1] : x ↦ sin x ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าโดเมน π/3 และ 2π/3 จับคู่ไปยัง √3/2 ตัวเดียวกัน

สมบัติ

• ฟังก์ชัน f จากบนเส้นจำนวนจริง R ไป R จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อกราฟของฟังก์ชันมีจุดตัดกับเส้นตรงใด ๆ ในแนวนอนหรือแนวตั้งเพียงจุดเดียว
• ถ้า X เป็นเซตหนึ่ง ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก X ไปยังเซตตัวเอง ซึ่งเกิดจากการดำเนินการประกอบของฟังก์ชัน จะทำให้เกิดกรุปสมมาตรของ X เขียนแทนได้หลายเช่น S (X), S_X หรือ X! (สัญลักษณ์สุดท้ายคือแฟกทอเรียล)
• สำหรับเซตย่อย A ซึ่งเป็นโดเมนของ f และมีภาวะเชิงการนับ | A | และเซตย่อย B ซึ่งเป็นโคโดเมนของ f และมีภาวะเชิงการนับ | B | จะได้ความเท่ากันดังต่อไปนี้

  | f (A) | = | A | และ | f ⁻¹ (B) | = | B |

• ถ้า X และ Y เป็นเซตจำกัดที่มีภาวะเชิงการนับเท่ากัน และ f : X → Y ดังนั้นประโยคต่อไปนี้จะมีความหมายเทียบเท่ากัน
  1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
  2. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
  3. f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
• สำหรับเซตจำกัด S จะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน ระหว่างเซตของอันดับทุกส่วน (total order) ที่เป็นไปได้ของสมาชิก ไปยังฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก S ไปยัง S หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ จำนวนของการเรียงสับเปลี่ยน (อีกชื่อหนึ่งของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) ของสมาชิกของ S จะเท่ากับจำนวนของอันดับทุกส่วนของเซตนั้น นั่นก็คือ n!