การเรียงสับเปลี่ยน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ การเรียงสับเปลี่ยน (อังกฤษ: permutation) อาจมีความหมายที่แตกต่างกันดังที่จะได้กล่าวต่อไป ซึ่งทั้งหมดนั้นเกี่ยวกับการจับคู่สมาชิกต่างๆ ของเซต ไปยังสมาชิกตัวอื่นในเซตเดียวกัน ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนลำดับสมาชิกของเซต

นิยาม[แก้]

ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด[แก้]

การเรียงสับเปลี่ยน เป็นการทำให้เข้าใจว่าหมายถึง "ลำดับ" ที่ประกอบด้วยสมาชิกจากเซตจำกัด และแต่ละตัวมีเพียงตัวเดียว แนวคิดของลำดับนั้นแตกต่างจากแนวคิดของเซต นั่นคือสมาชิกของลำดับจะปรากฏโดยลำดับอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมาชิกตัวที่หนึ่ง ตัวที่สอง ฯลฯ ต่างกับสมาชิกของเซตซึ่งไม่มีการเรียงลำดับ เช่น {1, 2, 3} กับ {3, 2, 1} ก็ถือว่าเป็นเซตเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม ความหมายดั้งเดิมของการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดก็ยังคงมีอยู่ นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนหมายถึงลำดับเช่นนั้น (ดังที่ได้กล่าวแล้ว) โดยที่สมาชิกแต่ละตัวปรากฏอย่างมากแค่หนึ่งครั้ง แต่ไม่ใช่สมาชิกทุกตัวในเซตที่นำมาใช้

สำหรับอีกแนวความคิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องในการเรียงลำดับของสมาชิกที่ถูกเลือก ซึ่งการเรียงลำดับไม่มีความสำคัญ ดูเพิ่มที่ การจัดหมู่ (combination)

ในทฤษฎีกรุป[แก้]

สมาชิกของการเรียงสับเปลี่ยนไม่จำเป็นต้องจัดเรียงอยู่ในอันดับเชิงเส้น หรือแม้กระทั่งไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับก็ได้ ภายใต้การนิยามที่ปรับแต่งแล้วนี้ การเรียงสลับเปลี่ยนจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จากเซตจำกัดหนึ่งไปยังเซตตัวเอง กรณีเช่นนี้สามารถใช้ได้กับการนิยามกรุปของการเรียงสับเปลี่ยน ดูเพิ่มที่ กรุปเรียงสับเปลี่ยน (permutation group)

การนับจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน[แก้]

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะตามแนวคิดดั้งเดิมในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเท่านั้น นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนคือลำดับที่มีการจัดอันดับ ของสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซตจำกัดโดยไม่มีการเลือกซ้ำ และไม่สำคัญว่าจะต้องใช้สมาชิกทุกตัว ตัวอย่างเช่น สมมติกำหนดให้เซตของตัวอักษร {C, E, G, I, N, R} การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วนของเซตนี้เช่น ICE, RING, RICE, NICER, REIGN และ CRINGE เป็นต้น หรือแม้แต่ RNCGI ซึ่งเป็นลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีคำที่มีความหมาย ส่วนคำว่า ENGINE ไม่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเพราะว่ามีสมาชิก E กับ N ซ้ำสองครั้ง

ถ้าให้ n แทนขนาดของเซต นั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีในเซต การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ที่ "ใช้สมาชิกทั้งหมดทุกตัว" ในครั้งแรกจะมีตัวเลือกทั้งหมด n ตัวสำหรับสมาชิกของลำดับตัวที่หนึ่ง และเมื่อสมาชิกตัวที่หนึ่งถูกเลือกไปแล้ว จะเหลือสมาชิก n − 1 ตัวสำหรับลำดับตัวที่สอง เมื่อสมาชิกถูกเลือกไปแล้วสองตัว การเรียงสับเปลี่ยนจึงสามารถเป็นไปได้

n × (n − 1) วิธี

สมาชิกตัวถัดไปของลำดับก็เลือกได้ n − 2 วิธี, n − 3 วิธี ฯลฯ อย่างนี้เรื่อยไปจนเหลือสมาชิกตัวสุดท้ายในเซตเพียงตัวเดียว การเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้สมาชิกทั้งหมดจึงเป็นไปได้

n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 = n! วิธี

"!" คือแฟกทอเรียล ในกรณีที่การเรียงสับเปลี่ยนไม่ได้ใช้สมาชิกทุกตัวในเซต กำหนดให้ r เป็นจำนวนสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซต (0 ≤ rn) จำนวนตัวเลือกในการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ จึงหยุดลงเมื่อได้สมาชิกครบ r ตัว ดังนี้

n × (n − 1) × (n − 2) × … × (nr + 1) วิธี

จำนวนที่หายไปคือ (nr) × (nr − 1) × … × 2 × 1 = (nr)! นั่นคือเราต้องเอาจำนวนนี้ไปหารออกจาก n! จึงจะได้จำนวนวิธีที่เหลือ สรุปได้เป็น

\mathbf{P}(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์หลายแบบเช่น \mathbf{P}(n,r)\ ;\ _n\mathbf{P}_r\ ;\ \mathbf{P}_r^n\ ;\ (n)_r

ในกรณีที่ n = r สูตรดังกล่าวจะกลายเป็น

\mathbf{P}(n,n) = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!

ด้วยเหตุผลว่า 0! = 1 เนื่องจาก 0! คือผลคูณว่างซึ่งจะเท่ากับ 1 เสมอ

การเรียงสับเปลี่ยนในทฤษฎีกรุป[แก้]

ดังที่ได้อธิบายไว้แล้วในส่วนต้น การเรียงสับเปลี่ยนของเซตในทฤษฎีกรุป เป็นการจับคู่ (หรือฟังก์ชัน) แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จากเซตจำกัดไปบนเซตตัวเอง ดังนั้นการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1 ถึง 10 จะแปลความหมายได้ว่าเป็นการจับคู่ของเซต {1, …, 10} ไปยังเซตเดิม เป็นต้น

การเรียงสับเปลี่ยนของเซตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟิลเทรชัน (filtration คือสายโซ่ของเซตย่อย) ตัวอย่างเช่นลำดับ {0, 1, 2} จะสมนัยกับฟิลเทรชัน {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2}

ดูเพิ่ม[แก้]