ข้ามไปเนื้อหา

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
พื้นที่สีเขียวรวมกับพื้นที่สีน้ำเงิน = พื้นที่สีแดง

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"

กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) ในกรณีที่สามเหลี่ยม เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ แล้วเส้นมัธยฐาน จะตั้งฉากกับ ในกรณีดังกล่าวทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียสจะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานสมมูลกับทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส ผ่านความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พื้นที่สีเขียว = พื้นที่สีแดง

พิสูจน์ทฤษฎีบท

[แก้]

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดูกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์[1]

ให้สามเหลี่ยมมีด้าน โดยมีเส้นมัธยฐาน ลากไปด้าน ให้ คือความยาวส่วนของด้าน ที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นมัธยฐาน ดังนั้น คือครึ่งหนึ่งของ ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน และเส้นมัธยฐาน เป็น และ ตามลำดับ โดยที่ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน และ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน ดังนั้น มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ

จากกฎของโคไซน์จะได้

นำสองสมการมาบวกกัน จะได้

อ้างอิง

[แก้]
  1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.