รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
Parallelogram.svg
รูปนี้เป็นชนิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก เพราะมุมของมันไม่เป็นมุมฉาก
ชนิด รูปสี่เหลี่ยม
ขอบและจุดยอด 4
กรุปสมมาตร C2 (2)
พื้นที่ B × H;
ab sin θ
สมบัติ รูปหลายเหลี่ยมนูน

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สมบัติ[แก้]

  • ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
  • ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
  • มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
  • มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180

°)

ประเภท[แก้]

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน[แก้]

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

\angle ABE \cong \angle CDE (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
\angle BAE \cong \angle DCE (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)

เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน AB และ DC

นอกจากนี้ ด้าน AB ก็ยาวเท่ากับ DC เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม ABE กับรูปสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้

AE = CE\,
BE = DE\,

เนื่องจากเส้นทแยงมุม AC กับ BD ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

สูตรพื้นที่[แก้]

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

A_\text{rect} = (B+A) \times H\,

และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ

A_\text{tri} = \frac{1}{2} A \times H\,

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ


\begin{align}
\mathrm{Area} &= A_\text{rect} - 2 \times A_\text{tri} \\
&= \left( (B+A) \times H \right) - \left( A \times H \right) \\
&= B \times H \\
\end{align}

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ

\text{Area} = ab \sin \theta\,

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b โดยที่ ab และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้ [3]

\text{Area} = \frac{|\tan \gamma|}{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|

พื้นที่บนระบบพิกัด[แก้]

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} \;; \text{Area} = |\det(V)| = |a_1b_2 - a_2b_1|

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{bmatrix} \;; \text{Area} = \sqrt{\det(V V^\mathrm{T})}

กำหนดให้จุด a, b, c เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{bmatrix} \;; \text{Area} = |\det(V)|

อ้างอิง[แก้]

  1. Dunn, J. A., and J. E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
  2. Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover, second edition, 1996: p. 217, item 10-5.
  3. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]