ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
พื้นที่สีเขียว/พื้นที่สีน้ำเงิน = พื้นที่สีแดง

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"

กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้า AD เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว

โดยทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ | AB | = | AC | และเส้นมัธยฐาน AD ตั้งฉากกับ BC และสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยม ADB (หรือสามเหลี่ยม ADC) จากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

การพิสูจน์ทฤษฎีเส้นมัธยฐาน (Apollonius' Theorem)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พื้นที่สีเขียว = พื้นที่สีแดง

พิสูจน์ทฤษฎีบท[แก้]

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดูกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์ (cos)[1]

ให้สามเหลี่ยมมีด้าน a, b, c โดยมีเส้นมัธยฐาน d ลากไปด้าน a ให้ m คือความยาวส่วนของด้าน a ที่จุดที่เกิดเส้นมัธยฐาน d ดังนั้น m คือครึ่งหนึ่งของ a ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน a และเส้นมัธยฐาน d เป็นθและθ′ ตามลำดับ โดยที่ θ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน b และ θ′ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน c ดังนั้น θ′+θ มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ cos θ′= −cos θ จากกฎของโคไซน์

จะได้

นำสองสมการมาบวกกัน จะได้


อ้างอิง[แก้]

  1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.