ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว (อังกฤษ: Universal quantifier) หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า สำหรับ x ใด ๆ หรือ สำหรับทุก x

ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ U+2200 ∀ for all และ \forall ในระบบ LaTeX

พื้นฐาน

เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง

"$2\cdot 0=0+0$ และ $2\cdot 1=1+1$ และ $2\cdot 2=2+2$ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"

ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:

"$\forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n=n+n$"

ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย

รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า

ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า $n$ ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "$2\cdot n=n+n$" จะเป็นจริง

ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์

$\forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n>2+n$

ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า $n$ ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น $2\cdot 1>2+1$ ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ $n$ ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า

"สำหรับจำนวนประกอบ $n$ ใด ๆ เราจะได้ว่า $2\cdot n>2+n$"

สมมูลกับ

"สำหรับจำนวนธรรมชาติ $n$ ใด ๆ ถ้า $n$ เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า $2\cdot n>2+n$"

ดูเพิ่ม

ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ $\forall$ (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935

ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า $P(n)$ เป็นภาคแสดง และ $x$ เป็นตัวแปร แล้ว $(\forall x)(P(x))$ จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง $\forall xP(x)$ แทน

นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้ $(\forall x\in A)(P(x))$ หรือ $(\forall x\colon x\in A)(P(x))$ แทนประพจน์ $(\forall x)(x\in A\implies P(x))$

ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้ $P(n)$ แทนภาคแสดง "$2\cdot n>2+n$" และ $\mathbb {N}$ เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

$(\forall n\in \mathbb {N} )(P(n))$ ซึ่งก็คือ $(\forall n\in \mathbb {N} )(2\cdot n>2+n)$

จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)

เช่นกัน หากกำหนด $Q(n)$ แทนภาคแสดง "$n$ เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

$(\forall n\in \mathbb {N} )(Q(n)\rightarrow P(n))$

เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)

สมบัติ

การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ $\neg$ อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า $P(x)$ เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ $\mathbf {X}$ คือเซตของมนุษย์ทุกคน

ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ

"$\lnot (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))$" เป็นจริง

ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ $\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$ จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้

$\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ

$\ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

ตัวเชื่อมอื่นๆ

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

$P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))$

$P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))$

$P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))$

$P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))$

$P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

$P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))$

$P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

$P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))$

$P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))$

$P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))$

$P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset$

กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด (อังกฤษ: Universal Instantiation) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

$(\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))\to \ P(c)$

เมื่อ $c$ เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ (อังกฤษ: Universal Generalization) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ จะเขียนได้ในรูป :

$P(c)\to \ (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,(P(x)))$

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง

โดยปกติแล้ว รูปแบบ $(\forall {x}{\in }\emptyset )(P(x))$ นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า$P(x)$ จะเป็นภาคแสดงใด : ดูที่ค่าความจริงว่าง

การปิดแบบทั้งหมด

การปิดแบบทั้งหมด (อังกฤษ: Universal closure) ของสูตร $\phi$ เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน $\phi$ ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

$P(y)\land \exists xQ(x,z)$

คือ

$\forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))$

นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย

ให้ $X$ เป็นเซตใดๆ และ ${\mathcal {P}}X$ แทนพาวเวอร์เซตของ $X$

สำหรับฟังก์ชัน $f:X\to Y$ ใด ๆ ระหว่างเซต $X$ และ $Y$ จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน $f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X$ ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ $f$ คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว ($\exists _{f}$) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว ($\forall _{f}$)

นั่นคือ ฟังก์เตอร์ $\exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$ เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต $S\subset X$ ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต $\exists _{f}S\subset Y$ กำหนดโดย

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}$

นั่นคือ $y$ อยู่ในอิมเมจของ $S$ ภายใต้ $f$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์ $\forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$ เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต $S\subset X$ จะคืนค่าเป็นสับเซต $\forall _{f}S\subset Y$ กำหนดโดย

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}$

นั่นคือ $y$ เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้ $f$ อยู่ใน $X$ ทั้งหมด

เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก โดยให้ $f$ ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ${\displaystyle !:X\to 1}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้ $S(x)$ เป็นจริง และ

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x)}$

จะเป็นจริง หาก $S$ ไม่ใช่เซตว่าง และ

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x)}$

จะเป็นเท็จ หาก $S$ ไม่ใช่ $X$

ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้

ดูเพิ่ม

• รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
• ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

บรรณานุกรม

• โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์. ตรรกวิทยาสัญลักษณ์. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิยาลัย, 2564. ISBN 9789740340010