สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว (อังกฤษ: Universal quantifier) หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใด ๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด
การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า สำหรับ x ใด ๆ หรือ สำหรับทุก x
ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)
รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ U+2200 ∀ for all และ \forall
ในระบบ LaTeX
เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง
"
และ
และ
เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"
ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำ ๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:
"
"
ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย
รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า
ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า
ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "
" จะเป็นจริง
ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์
ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า
ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น
ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ
แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ
ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า
"สำหรับจำนวนประกอบ
ใด ๆ เราจะได้ว่า
"
สมมูลกับ
"สำหรับจำนวนธรรมชาติ
ใด ๆ ถ้า
เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า
"
ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ
(ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935
ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า
เป็นภาคแสดง และ
เป็นตัวแปร แล้ว
จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง
แทน
นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้
หรือ
แทนประพจน์
ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้
แทนภาคแสดง "
" และ
เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว
ซึ่งก็คือ
จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)
เช่นกัน หากกำหนด
แทนภาคแสดง "
เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว
เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)
ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้
อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน
ตัวอย่างเช่น ถ้า
เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์
คือเซตของมนุษย์ทุกคน
ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย
ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ
"
" เป็นจริง
ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ
จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า
โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้
ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ
ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :
ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป
กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
[แก้]
กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด [1] (อังกฤษ: Universal Instantiation) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :
เมื่อ
เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์
การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ[1] (อังกฤษ: Universal Generalization) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ จะเขียนได้ในรูป :
สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์
โดยปกติแล้ว รูปแบบ
นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า
จะเป็นภาคแสดงใด : ดูที่ค่าความจริงว่าง
การปิดแบบทั้งหมด (อังกฤษ: Universal closure) ของสูตร
เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน
ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ
คือ
นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด
[แก้]
ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย[2]
ให้
เป็นเซตใดๆ และ
แทนพาวเวอร์เซตของ
สำหรับฟังก์ชัน
ใด ๆ ระหว่างเซต
และ
จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน
ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ
คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (
) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว (
)
นั่นคือ ฟังก์เตอร์
เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต
ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต
กำหนดโดย
นั่นคือ
อยู่ในอิมเมจของ
ภายใต้
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์
เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต
จะคืนค่าเป็นสับเซต
กำหนดโดย
นั่นคือ
เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้
อยู่ใน
ทั้งหมด
เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก โดยให้
ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์
ที่ทำให้
เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้
เป็นจริง และ
จะเป็นจริง หาก
ไม่ใช่เซตว่าง และ
จะเป็นเท็จ หาก
ไม่ใช่
ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้
- ↑ 1.0 1.1 โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์, 2564
- ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification#cite_note-3
- โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์. ตรรกวิทยาสัญลักษณ์. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิยาลัย, 2564. ISBN 9789740340010