แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์

วงโคจรของเรเดียม (แผ่นปลายถึง )

อิเล็กตรอน 5 ตัวที่มีเลขควอนตัมหลักและเลขควอนตัมเสริมเท่ากัน โคจรไปพร้อมกัน ( หน้า 364)

ส่วนขยายของ ซอมเมอร์เฟลด์ ของระบบสุริยะปี ค.ศ. 1913 แบบจำลองของโปร์ของอะตอมไฮโดรเจนของโบร์ แสดงให้เห็นการเพิ่มวงโคจรรูปวงรีเพื่ออธิบายโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัม

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ (เรียกอีกอย่างว่า แบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์ หรือ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์) เป็นการขยายแบบจำลองของ นิลส์ โปร์ เพื่อให้วงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมเป็นวงรีได้ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์ก นิลส์ โปร์ และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ให้เหตุผลว่าหากวงโคจรของอิเล็กตรอนสามารถเป็น วงรี แทนจะเป็นวงกลม พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะเท่ากัน ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการเสื่อมของควอนตัม

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์เพิ่มเงื่อนไขของโมเมนตัมเชิงมุมควอนตาในแบบจำลองของโปร์ โดยเพิ่มการควอนตาเชิงรัศมี (เงื่อนไขที่เสนอโดย วิลเลียม วิลสัน เป็นที่รู้จักในชื่อเงื่อนไขการควอนตาแบบวิลสัน-ซอมเมอร์เฟลด์) :

$\int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,$

โดยที่ p_r คือโมเมนตัมเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับพิกัด q ซึ่งเป็นตำแหน่งตามแนวรัศมี และ T คือช่วงเวลาเต็มของหนึ่งวงโคจร การอินทิเกรตนี้คือ การกระทำ ของ พิกัดการกระทำ-มุม เงื่อนไขนี้ซึ่งแนะนำโดยหลักการโต้ตอบเป็นเพียงเงื่อนไขเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากเลขควอนตัมเป็นค่าคงที่อะเดียแบติก

ประวัติศาสตร์

บทความหลัก: ทฤษฎีควอนตัมเก่า

ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โบร์ ได้แสดงพื้นฐานของหลักการที่ภายหลังถูกนิยามเป็น หลักการโต้ตอบ และใช้มันในการสร้าง แบบจำลอง ของ อะตอมไฮโดรเจน ซึ่งอธิบายถึง สเปกตรัมเส้น ในอีกไม่กี่ปีถัดมา อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ได้ขยายกฎควอนตัมไปยังระบบที่สามารถแยกแยะได้ โดยใช้หลักการของ การไม่เปลี่ยนแปลงของปริมาณอดิอาบาติก ที่แนะนำโดย เฮนดริก ลอเรนซ์ และ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้มีบทบาทสำคัญ โดยการทำให้ z-component ของ โมเมนตัมเชิงมุม ถูกควอนตัม ซึ่งในยุคควอนตัมเก่าถูกเรียกว่า "ควอนตัมเชิงทิศทาง" (เยอรมัน: Richtungsquantelung) สิ่งนี้ทำให้วงโคจรของอิเล็กตรอนเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม และแนะนำแนวคิดของการสลายตัวทางควอนตัม ทฤษฎีนี้จะอธิบาย ปรากฏการณ์เซมัน ได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นในเรื่องของ สปิน ซอมเมอร์เฟลด์ได้สร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับภาพควอนตัมกลศาสตร์สมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองของบอร์

ในทศวรรษ ค.ศ. 1950 โจเซฟ เคลเลอร์ ได้ปรับปรุงการควอนตัมแบบ โบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ โดยใช้การตีความของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1917 ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อ วิธีการไอน์สไตน์–บริลลูอิน–เคลเลอร์ ในปี ค.ศ. 1971 มาร์ติน กัตซ์วิลเลอร์ ได้พิจารณาว่าวิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่สามารถแยกแยะได้เท่านั้น และได้พัฒนาวิธีการควอนตัมแบบกึ่งคลาสสิกสำหรับ ความโกลาหลของควอนตัม จาก การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง

การทำนาย

แบบจำลองของซอมเมอร์เฟลด์ได้ทำนายว่าค่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมที่วัดตามแกนจะมีค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับสมมาตรเชิงการหมุน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง การทดลองสเติร์น–เกอร์ลาช นี่เป็นก้าวสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม นอกจากนี้ยังอธิบายถึงความเป็นไปได้ที่ ระดับพลังงาน ของอะตอมจะแตกออกเนื่องจาก สนามแม่เหล็ก (เรียกว่า ผลซีแมน) วอลเธอร์ คอสเซล ได้ร่วมงานกับโปร์และซอมเมอร์เฟลด์ในแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ของอะตอม โดยแนะนำอิเล็กตรอนสองตัวในชั้นแรกและแปดตัวในชั้นที่สอง

ปัญหา

แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์มีความไม่สอดคล้องกันโดยพื้นฐานและนำไปสู่พาราดอกซ์หลายประการ เลขควอนตัมแม่เหล็ก วัดการเอียงของระนาบออร์บิทัลสัมพันธ์กับระนาบ xy ซึ่งสามารถรับค่าได้เพียงไม่กี่ค่าที่แยกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ชัดเจนว่าอะตอมสามารถหมุนไปในทิศทางต่างๆ ตามพิกัดได้โดยไม่มีข้อจำกัด ซอมเมอร์เฟลด์ควอนตัมสามารถทำได้ในพิกัดแคนอนิคัลที่แตกต่างกันและบางครั้งให้คำตอบที่แตกต่างกัน การรวมการแก้ไขจากการแผ่รังสีเป็นเรื่องยาก เนื่องจากต้องการการหาพิกัดแอ็คชัน-มุมสำหรับระบบแผ่รังสี/อะตอมที่รวมกัน ซึ่งเป็นเรื่องยากเมื่อการแผ่รังสีสามารถหลุดออกไปได้ ทฤษฎีทั้งหมดไม่ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งหมายความว่าหลายระบบไม่สามารถได้รับการพิจารณาแม้แต่ในหลักการ ในที่สุด แบบจำลองนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยการปฏิบัติที่เป็นกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งครั้งแรกถูกเสนอโดย ว็อล์ฟกัง เพาลี ในปี ค.ศ. 1925 โดยใช้ กลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก ภาพปัจจุบันของอะตอมไฮโดรเจนอิงจาก วงโคจรอะตอม ของ สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่ง แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ พัฒนาขึ้นในปี 1926

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ไม่มีความสำเร็จ การคำนวณที่อิงจากแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์สามารถอธิบายปรากฏการณ์สเปกตรัมอะตอมที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถึงการเบี่ยงเบนลำดับแรก ทฤษฎีการรบกวน แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมทำการคาดการณ์ที่เหมือนกันสำหรับการแยกบรรทัดสเปกตรัมใน เอฟเฟกต์สตาร์ค อย่างไรก็ตาม ในการเบี่ยงเบนลำดับที่สูงขึ้น แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมมีความแตกต่างกัน และการวัดผลสตาร์กภายใต้ความแรงของสนามสูงช่วยยืนยันความถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัมเหนือแบบจำลองโปร์ ทฤษฎีที่ครอบงำเบื้องหลังความแตกต่างนี้อยู่ที่รูปทรงของวงโคจรของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามสถานะพลังงานของอิเล็กตรอน

เงื่อนไขการควอนตัมของโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์นำไปสู่คำถามในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เงื่อนไขการควอนตัมเชิงเซมิคลาสสิคที่สอดคล้องกันต้องการโครงสร้างประเภทหนึ่งบนพื้นที่เฟส ซึ่งกำหนดข้อจำกัดทางทอพอโลยีเกี่ยวกับประเภทของมานิโฟลด์ซิมเพลติกที่สามารถควอนตัมได้ โดยเฉพาะ รูปแบบซิมเพลติกควรเป็น รูปทรงโค้ง ของ การเชื่อมต่อ ของ ชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์ มัดเส้นตรง, ซึ่งเรียกว่า การหาปริมาตรล่วงหน้า

การโคจรสัมพัทธภาพ

วงโคจรของอะตอมไฮโดรเจน การกระโดดจาก 3₁, 3₂, 3₃ ไปยัง 2₂ ทุกตัวสร้างเส้นสเปกตรัมบาลเมอร์ H_α แต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียดแต่แตกต่างกันที่โครงสร้างละเอียด (รูปที่ 27 )

วงโคจรแบบวงรีที่มีพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมที่ควอนตัมเหมือนกัน

ดูเพิ่ม: หลักการกีดกันของเพาลี

อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาสัมพัทธภาพของระดับพลังงานอะตอม การเริ่มต้นการพัฒนานี้ ด้วยสมการสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานใน ศักย์ไฟฟ้า

$W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}$

หลังจากการแทนที่ $u={\frac {1}{r}}$ เราจะได้

${\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u$

สำหรับโมเมนตัม $p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}$, $p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}$ และอัตราส่วนของ${\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}$ สมการการเคลื่อนที่คือ (ดู สมการบิเนต์)

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K$

โดยมีคำตอบเป็น

$u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi$

การเคลื่อนที่มุมของ จุดใกล้และไกลที่สุด ต่อการหมุนรอบหนึ่งรอบคือ

$\varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}$

โดยใช้เงื่อนไขควอนตัม

$\oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h$

และ

$\oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h$

เราจะได้รับพลังงาน

${\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1$

โดยที่ $\alpha$ คือ ค่าคงที่โครงสร้างละเอียด คำตอบนี้ (โดยใช้ การแทนที่สำหรับตัวเลขควอนตัม) เป็นไปได้เทียบเท่ากับคำตอบของ สมการของดิแรก อย่างไรก็ตาม คำตอบทั้งสองนี้ล้มเหลวในการคาดการณ์ การเลื่อนแลมบ์

ดูเพิ่ม

• แบบจำลองของโปร์
• ทฤษฎีควอนตัมเก่า