สมการอดิศัย

หนังสือเกี่ยวกับการแก้สมการอดิศัยโดยจอห์น เฮอร์เชล ปี 1832

สมการอดิศัย (transcendental equation) เป็นสมการที่ประกอบไปด้วยฟังก์ชันอดิศัย นั่นคือ ฟังก์ชันที่ไม่สามารถแสดงด้วยพหุนามหรือรากของตัวแปรอิสระในสมการได้ คำตรงข้ามของสมการอดิศัยคือสมการพีชคณิต การแก้สมการอดิศัยไม่สามารถทำได้โดยใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการอดิศัยส่วนใหญ่ และเป็นการยากที่จะหาผลเฉลยเชิงวิเคราะห์

ตัวอย่าง

สมการต่อไปนี้เป็นสมการอดิศัยทั้งหมด เพราะมีฟังก์ชันอดิศัย เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน e หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

$e^{x}x=1$

$x=\sin {x}$

ในทางดาราศาสตร์ สมการเค็พเพลอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเฉลี่ย $M$ กับมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ของวงโคจรก็เป็นสมการอดิศัย

$M=E-e\sin {E}$

โดย $e$ คือ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

วิธีแก้

การแก้สมการอดิศัยสามารถแก้ได้โดยวิธีการวาดกราฟเอา หรือใช้การวิเคราะห์เชิงตัวเลข หากใช้วิธีการวาดกราฟ สูตรทั้งสองด้านของสมการสามารถมีค่าเท่ากับตัวแปรอื่นตามลำดับ (เช่น $y$ ) แล้ววาดกราฟทั้งสองเข้าด้วยกัน จุดตัดของกราฟทั้งสองคือคำตอบของสมการอดิศัย วิธีการเชิงตัวเลขก็ต่อยอดมาจากแนวคิดนี้เช่นกัน และตำแหน่งของจุดตัดของกราฟทั้งสองนั้นได้มาจากการใช้สูตรทางคณิตศาสตร์

ถ้าค่ามีขนาดเล็กมาก หรือทราบว่าผลเฉลยมีค่าใกล้เคียงค่าหนึ่ง อาจสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์เพื่อประมาณฟังก์ชันอดิศัยในรูปพหุนาม ดังนั้นสมการอดิศัยสามารถประมาณได้ด้วยสมการพีชคณิต แล้วค่อยหาผลเฉลยสำหรับสมการพีชคณิตนั้น คำตอบเชิงตัวเลขของสมการอดิศัยยังอาจสามารถหาได้โดยใช้วิธีการของนิวตัน

ฟังก์ชันพิเศษบางอย่างสามารถใช้แทนคำตอบของสมการอดิศัยได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน W ของลัมแบร์ท เช่น สมการอดิศัยนี้

$xe^{x}=1$

มีผลเฉลยเป็น $W(1)$ ซึ่งมีค่าโดยประมาณคือ $0.56714329\dots$ (ค่าคงตัวโอเมกา)