สมการกำลังสาม

ตัวอย่างกราฟของสมการกำลังสาม

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\!$

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว $a,b,c,d$ คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

ดิสคริมิแนนต์

สมการกำลังสามทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะมีรากของสมการ 3 คำตอบเสมอ ซึ่งจะต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่เป็นคำตอบ ตามทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem) และคำตอบเหล่านั้นอาจจะเท่ากันบางค่าก็ได้ ส่วนอีกสองจำนวนที่เหลือสามารถแยกแยะได้จากการพิจารณาดิสคริมิแนนต์ ซึ่งคำนวณจาก

$\Delta =4b^{3}d-b^{2}c^{2}+4ac^{3}-18abcd+27a^{2}d^{2}\!$

คำตอบของสมการจะเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

• ถ้า Δ < 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ที่แตกต่างกันทั้งหมด
• ถ้า Δ > 0 คำตอบของสมการจะมีหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริง และอีกสองจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคซึ่งกันและกัน
• ถ้า Δ = 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งมีสองจำนวนเป็นค่าเดียวกัน หรือ เป็นค่าเดียวกันทั้งสามจำนวน อย่างใดอย่างหนึ่ง

สูตรกำลังสาม

ถ้าหาก $x_{1},x_{2},x_{3}$ เป็นคำตอบของสมการกำลังสามแล้ว เราจะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสามได้ดังนี้

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0\!$

กำหนดให้

${\begin{aligned}q&={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}\\r&={\sqrt {\left({\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}+q^{2}}}\\s&={\sqrt[{3}]{q+r}}\\t&={\sqrt[{3}]{q-r}}\\\end{aligned}}$

คำตอบของสมการทั้งสามค่าสามารถคำนวณได้จากสูตร

${\begin{aligned}x_{1}&=s+t-{\frac {b}{3a}}\\x_{2}&=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3a}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i\\x_{3}&=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3a}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i\\\end{aligned}}$

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i² = −1

อ้างอิง

• W. S. Anglin; & J. Lambek (1995). "Mathematics in the Renaissance", in The heritage of Thales, Ch. 24. Springers.
• Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
• R.W.D. Nickalls (1993). A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed เก็บถาวร 2008-12-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, The Mathematical Gazette, 77:354-359.

ดูเพิ่ม

• สมการเชิงเส้น
• สมการกำลังสอง
• สมการกำลังสี่
• สมการกำลังห้า

แหล่งข้อมูลอื่น

• Tartaglia's work (and poetry) on the solution of the Cubic Equation เก็บถาวร 2007-09-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at Convergence เก็บถาวร 2006-02-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Cubic Equation Solver.
• Quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.
• Cubic Formula on PlanetMath
• Cardano solution calculator as java applet เก็บถาวร 2009-01-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at some local site. Only takes natural coefficients.
• Graphic explorer for cubic functions With interactive animation, slider controls for coefficients
• On Solution of Cubic Equations at Holistic Numerical Methods Institute
• Dave Auckly, Solving the cubic with a pencil American Math Monthly 114:1 (2007) 29--39