สมการกำลังสาม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ตัวอย่างกราฟของสมการกำลังสาม

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

ดิสคริมิแนนต์[แก้]

สมการกำลังสามทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะมีรากของสมการ 3 คำตอบเสมอ ซึ่งจะต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่เป็นคำตอบ ตามทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem) และคำตอบเหล่านั้นอาจจะเท่ากันบางค่าก็ได้ ส่วนอีกสองจำนวนที่เหลือสามารถแยกแยะได้จากการพิจารณาดิสคริมิแนนต์ ซึ่งคำนวณจาก

คำตอบของสมการจะเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

  • ถ้า Δ < 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ที่แตกต่างกันทั้งหมด
  • ถ้า Δ > 0 คำตอบของสมการจะมีหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริง และอีกสองจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคซึ่งกันและกัน
  • ถ้า Δ = 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งมีสองจำนวนเป็นค่าเดียวกัน หรือ เป็นค่าเดียวกันทั้งสามจำนวน อย่างใดอย่างหนึ่ง

สูตรกำลังสาม[แก้]

ถ้าหาก เป็นคำตอบของสมการกำลังสามแล้ว เราจะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสามได้ดังนี้

กำหนดให้

คำตอบของสมการทั้งสามค่าสามารถคำนวณได้จากสูตร

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

อ้างอิง[แก้]

  • W. S. Anglin; & J. Lambek (1995). "Mathematics in the Renaissance", in The heritage of Thales, Ch. 24. Springers.
  • Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
  • R.W.D. Nickalls (1993). A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed, The Mathematical Gazette, 77:354-359.

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]