รายการกฎการอนุมาน

หน้าวิกิพีเดียนี้ มีจุดประสงค์เพื่อรวบรวมรายการกฎการอนุมาน (rules of inference) ซึ่งเป็นกฎทางตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณสมการเชิงคณิตตรรกศาสตร์

กฎการอนุมาน

กฎการอนุมานเป็นกฎการแปลงทางสัณฐานวิทยา สามารถใช้เพื่อสรุปข้อสรุปจากหลักฐานเพื่อโต้เถียงกลับเชิงตรรกะได้ สามารถใช้ชุดของกฎเพื่ออนุมานข้อสรุปที่ถูกต้องจากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์ที่สมบูรณ์ได้ (ในขณะที่จะไม่สามารภอนุมานข้อสรุปถูกต้องได้ หากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์นั้นไม่ครบถ้วน) กฎที่สมบูรณ์ครบถ้วนไม่จำเป็นต้องรวมทุกกฎทั้งหมดที่มีในรายการต่อไปนี้ เนื่องจากกฎหลายข้อนั้นมีความซ้ำซ้อนและสามารถพิสูจน์ได้ด้วยกฎอื่น ๆ

กฎสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์แบบคลาสสิก

รายการด้านล่างคือกฎการอนุมานสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์ (propositional calculus) แบบคลาสสิก

กฎนิเสธ (Rules for negations)

Reductio ad absurdum (หรือ Negation Introduction)

$\varphi \vdash \psi$

$\varphi \vdash \lnot \psi$

${\overline {\lnot \varphi \quad \quad \!}}$

Reductio ad absurdum (เกี่ยวข้องกับ law of excluded middle)

$\lnot \varphi \vdash \psi$

$\lnot \varphi \vdash \lnot \psi$

${\overline {\ \varphi \quad \quad \quad }}$

Ex contradictione quodlibet

$\,\varphi$

$\lnot \varphi$

${\overline {\,\psi \ \,}}$

กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negation elimination)

$\lnot \lnot \varphi$

${\overline {\,\varphi \quad \,}}$

Double negation introduction

$\,\varphi$

${\overline {\lnot \lnot \varphi \,}}$

กฎสำหรับหรือ (Rules for conditionals)

Deduction theorem (หรือ Conditional Introduction)

$\varphi \vdash \psi$

${\overline {\varphi \rightarrow \psi \ }}$

การแจ้งผลตามเหตุ (Modus ponens หรือ Conditional Elimination)

$\varphi \rightarrow \psi$

$\varphi$

${\overline {\psi \quad \quad \,\,}}$

การค้านผลตามเหตุ (Modus tollens)

$\varphi \rightarrow \psi$

$\lnot \psi$

${\overline {\lnot \varphi \quad \ \ \,}}$

กฎสำหรับและ (Rules for conjunctions)

Adjunction (หรือ Conjunction Introduction)

$\varphi$

$\psi \quad \quad$

${\overline {\varphi \wedge \psi \ }}$

การแจงผลร่วม (Simplification หรือ Conjunction Elimination)

$\varphi \wedge \psi$

${\overline {\varphi \quad \quad \!}}$

$\varphi \wedge \psi$

${\overline {\psi \quad \quad \!}}$

กฎสำหรับถ้า... แล้ว... (Rules for disjunctions)

การเติมผล (Addition หรือ Disjunction Introduction)

$\varphi$

${\overline {\varphi \vee \psi \ }}$

$\psi$

${\overline {\varphi \vee \psi \ }}$

Case analysis (หรือ Proof by Cases หรือ Argument by Cases หรือ Disjunction elimination)

$\varphi \rightarrow \chi$

$\psi \rightarrow \chi$

$\varphi \vee \psi$

${\overline {\chi \quad \quad \,}}$

ตรรกบทแบบคัดออก (Disjunctive syllogism)

$\varphi \vee \psi$

$\lnot \varphi$

${\overline {\psi \quad \quad \!}}$

$\varphi \vee \psi$

$\lnot \psi$

${\overline {\varphi \quad \quad \!}}$

การเลือกผลตามเหตุ (Constructive dilemma)

$\varphi \rightarrow \chi$

$\psi \rightarrow \xi$

$\varphi \vee \psi$

${\overline {\chi \vee \xi \quad \!\!}}$

กฎสำหรับก็ต่อเมื่อ (Rules for biconditionals)

Biconditional introduction

$\varphi \rightarrow \psi$

$\psi \rightarrow \varphi$

${\overline {\varphi \leftrightarrow \psi \,}}$

Biconditional elimination

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\varphi$

${\overline {\psi \quad \quad \ }}$

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\psi$

${\overline {\varphi \quad \quad \ }}$

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\lnot \varphi$

${\overline {\lnot \psi \quad \quad \!\!}}$

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\lnot \psi$

${\overline {\lnot \varphi \quad \quad \!\!}}$

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\psi \vee \varphi$

${\overline {\psi \land \varphi \quad \!\!}}$

$\varphi \leftrightarrow \psi$

$\lnot \psi \vee \lnot \varphi$

${\overline {\lnot \psi \land \lnot \varphi \,}}$

ตารางกฎการอนุมาน

กฎด้านบนนั้นสามารถรวมกันไว้ได้ตามตารางนี้ ตารางคอลัมน์สัจนิรันดร์ (Tautology) แสดงวิธีการแสดงกฎแต่ละข้อตามหลักคณิตตรรกศาสตร์แบบสัจนิรันดร์

Rules of inference	สัจนิรันดร์	ชื่อภาษาอังกฤษ	ชื่อภาษาไทย
${\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$(p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q$	Modus ponens	กฎการแจงผลตามเหตุ
${\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$(\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p$	Modus tollens	กฎการแจงผลค้านเหตุ
${\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))$	Associative	กฎการเปลี่ยนหมู่
${\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}$	$(p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)$	Commutative
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}$	$((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (\ p\leftrightarrow q)$	Law of biconditional propositions
${\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))$	Exportation
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}$	$(p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)$	Transposition or contraposition law
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}$	$((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)$	Hypothetical syllogism	ตรรกบทแบบสมมติฐาน
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}$	$(p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)$	Material implication
${\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))$	Distributive	กฎการแจกแจง
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}$	$(p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))$	Absorption	กฎการซึมซับ
${\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q$	Disjunctive syllogism	กฎตรรกบทแบบคัดออก
${\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}$	$p\rightarrow (p\vee q)$	Addition	กฎการเติมผล
${\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$(p\wedge q)\rightarrow p$	Simplification	กฎการแจงผลร่วม
${\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}$	$((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)$	Conjunction
${\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}$	$p\rightarrow (\neg \neg p)$	Double negation	นิเสธซ้อนนิเสธ
${\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$(p\vee p)\rightarrow p$	Disjunctive simplification	การแจงผลร่วมแบบคัดออก
${\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)$	Resolution
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\r\rightarrow q\\p\vee r\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}$	$((p\rightarrow q)\wedge (r\rightarrow q)\wedge (p\vee r))\rightarrow q$	Disjunction Elimination

ดูเพิ่ม

• รายชื่อระบบทางตรรกศาสตร์