ระยะทางแบบยุคลิด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ระยะทางแบบยุคลิด (อังกฤษ: Euclidean distance, Euclidean metric) คือระยะทางปกติระหว่างจุดสองจุดในแนวเส้นตรง ซึ่งอาจสามารถวัดได้ด้วยไม้บรรทัด มีที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เหตุที่เรียกว่า แบบยุคลิด เนื่องจากเป็นการวัดระยะทางในปริภูมิแบบยุคลิด (หรือแม้แต่ปริภูมิผลคูณภายใน) คือไม่มีความโค้งและไม่สามารถทำให้โค้งงอ และการใช้สูตรนี้วัดระยะทางทำให้กลายเป็นปริภูมิอิงระยะทาง ค่าประจำ (norm) ที่เกี่ยวข้องก็จะเรียกว่าเป็น ค่าประจำแบบยุคลิด (Euclidean norm) เช่นกัน (งานเขียนสมัยก่อนเรียกการวัดอย่างนี้ว่า ระยะทางแบบพีทาโกรัส)

นิยาม[แก้]

ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด p และ q คือความยาวของส่วนของเส้นตรง pq ถ้า p = (p1, p2, …, pn) และ q = (q1, q2, …, qn) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นจุดสองจุดบนปริภูมิยุคลิด n มิติ ระยะทางระหว่างจุด p กับ q คำนวณได้จาก

\mathrm{d} (\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p_1-q_1) ^2 + (p_2-q_2) ^2 + \cdots + (p_n-q_n) ^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i) ^2}

ค่าประจำแบบยุคลิด คือระยะทางจากจุดหนึ่งจุด p ไปยังจุดกำเนิด (0, 0, …, 0) บนปริภูมิยุคลิด

\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}

ซึ่งสมการตัวหลังเกี่ยวข้องกับผลคูณจุด เป็นขนาดของเวกเตอร์ p จากจุดกำเนิด ระยะทางแบบยุคลิดจึงอาจนิยามได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{(\mathbf{p}-\mathbf{q}) \cdot (\mathbf{p}-\mathbf{q})} = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}

กรณีพิเศษ[แก้]

ในหนึ่งมิติ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองค่านั้น ดังนั้นถ้าให้ p และ q เป็นจุดสองจุด (หรือจำนวนสองจำนวน) บนเส้นจำนวนจริงแล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q จึงคำนวณได้จาก

\mathrm{d} (\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p-q) ^2} = |p-q|

ในสองมิติแบบยุคลิด ถ้า p = (p1, p2) และ q = (q1, q2) แล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q สามารถคำนวณได้ดังนี้ ซึ่งมีสูตรเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

\mathrm{d} (\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p_1-q_1) ^2 + (p_2-q_2) ^2}

จากนิยามแบบที่สองของระยะทางแบบยุคลิด ถ้าหาก p = (r1, θ1) และ q = (r2, θ2) ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะสามารถคำนวณระยะทางได้จากสูตรนี้

\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos (\theta_1 - \theta_2)}

ในสามมิติแบบยุคลิด ระยะทางระหว่าง p และ q ก็คือ

\mathrm{d} (\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p_1-q_1) ^2 + (p_2-q_2) ^2 + (p_3-q_3) ^2}

เมื่อมิติเพิ่มขึ้น พจน์ภายในก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนมิติ เช่นนี้เรื่อยไป

ดูเพิ่ม[แก้]