พหุนาม

ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้าฟารูก รัก ปลายฟ้า ฟารูก รัก ปลายฟ้า

กราฟของฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม

พหุนาม ในคณิตศาสตร์ หมายถึง นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ตัวอย่างของพหุนามตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปร เช่น x² − 4x + 7 ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลังสอง

พหุนามสามารถนำไปใช้ในสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ได้อย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น สมการพหุนาม ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างกว้างขวาง จากโจทย์ปัญหาพื้นฐาน ไปจนถึงปัญหาที่ซับซ้อนทางวิทยาศาสตร์ และยังใช้ในการนิยาม ฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งนำไปใช้ตั้งแต่พื้นฐานของเคมีและฟิสิกส์ ไปจนถึงเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์ รวมถึงการนำไปใช้ในแคลคูลัส และการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งคล้ายคลึงกับฟังก์ชันต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงนั้น พหุนามยังใช้ในการสร้างวงล้อพหุนาม และความหลากหลายทางพีชคณิต และเป็นแนวคิดสำคัญในพีชคณิต และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอีกด้วย

บทนิยาม

นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

รูปทั่วไปของพหุนามตัวแปรเดียวสามารถเขียนได้ในรูป

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ หรือ $\sum _{n=0}^{n}a_{n}x^{n}$

โดยที่ $a_{0},...a_{n}$ เป็นค่าคงที่ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ และ $x$ เป็นตัวแปรไม่ทราบค่า

เช่น $x^{2}+4x+7$ ซึ่งเป็นพหุนามกำลังสอง

ฟังก์ชันพหุนามเกิดจากการแทนค่าตัวแปรไม่ทราบค่าลงในพหุนาม

เลขคณิตของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ $y(2xz^{3}-4)x-2+(0.9x+z)y$ เป็นพหุนาม (เนื่องจาก $z^{3}$ เป็นการเขียนย่อจาก $z\cdot z\cdot z$) แต่นิพจน์ ${1 \over x^{2}+1}$ ไม่ใช่พหุนาม เนื่องจากมีการหาร เช่นเดียวกับ นิพจน์ $(5+y)^{x}$ เนื่องจากไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการคูณกันที่ไม่ขึ้นกับค่าของตัวแปร $x$ ได้

นอกจากนี้ ยังมีการนิยาม พหุนาม ในรูปแบบจำกัด กล่าวคือ พหุนามคือนิพจน์ที่เป็นผลรวมของผลคูณระหว่างตัวแปรกับค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่น $2x^{2}yz^{3}-3.1xy+yz-2$ อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้เป็นเพียงข้อจำกัดที่ผิวเผิน เนื่องจากสามารถใช้กฎการแจกแจงแปลงพหุนามภายใต้นิยามแรกให้เป็นพหุนามภายใต้นิยามที่สองได้ ในการใช้งานทั่วไปมักไม่แยกแยะความแตกต่างทั้งสอง นอกจากนี้ในบริบททั่วไปมักนิยมถือว่าโดยทั่วไปพหุนามจะอยู่ในรูปแบบจำกัดนี้ แต่เมื่อต้องการแสดงว่าอะไรเป็นพหุนาม มักใช้รูปแบบแรกเนื่องจากสะดวกมากกว่า56

ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันพหุนาม คือฟังก์ชันที่นิยามด้วยพหุนาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f นิยามด้วย f (x) = x³−x เป็นฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันเรียบประเภทหนึ่งที่สำคัญ นั่นคือ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุก ๆ อันดับที่จำกัด