ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ของลำดับ a₁, a₂, a₃, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย

$\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}...$

นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a₁a₂...a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่าลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}...$

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}...=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)$

เกณฑ์ในการลู่เข้า

ผลคูณของจำนวนจริงบวก

$\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}$

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม

$\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})$

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี a_n เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ $a_{n}\geq 1$หรือเขียนเป็น $a_{n}=1+p_{n},\ p_{n}\geq 0$จะได้อสมการ

$1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}(1+p_{n})\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)$

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ p_n ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า $p_{n}\to 0$แล้ว

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1$

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ

$\sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})$และ $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก $a_{n}=1-q_{n},\ 0\leq q_{n}<1$แล้ว $\prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})$ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม $\sum _{n=1}^{\infty }q_{n}$ลู่เข้า

หากอนุกรม $\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})$ลู่ออกไปสู่ $-\infty$แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ a_n จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่าลู่ออกไปสู่ศูนย์

สำหรับ $p_{n}\$ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ$\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ $\prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})$ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก$\sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|$ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม(ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์)กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก$\sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}$ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน

รูปผลคูณของฟังก์ชัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน(นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u₁, u₂, u₃, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว

$f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\{{\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+...+{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\}$

เมื่อ λ_n เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λ_n อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ 'λ' _n = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่าอันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น

$f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)$

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:

ขั้วอย่างง่าย (simple pole)	${\frac {c}{c-z}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}$
	${\frac {1}{1-z}}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)$
ฟังก์ชัน sinc	${\textrm {sinc}}(\pi z)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$	มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ	${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}$
ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}$	$\Lambda _{*}$หมายถึงแลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
เครื่องหมาย q-Pochhammer	$(z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})$	ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน	${\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}$	แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$	pn หมายถึงลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

ดูเพิ่ม

• อนุกรมอนันต์
• เศษส่วนต่อเนื่อง
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ